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mola (88) del $ 36 e se in questo campo le solite quantità p e saranno le derivate 
parziali rispetto ad 4 e ad y di una stessa funzione; o se non essendolo, si riscon- 
trerà che in C la espressione ®, non è mai positiva, e lo stesso campo C è tutto 
contenuto in quelli che insegnammo a determinare nei SS 38 e 39. Indagini simili, 
dopo determinate « e #, dovranno farsi nel caso delle equazioni del tipo parabolico. 
Volendo poi potremo determinare con procedimenti simili funzioni regolari per m2, 
e n 0 per © che soddisfino alla condizione (110); e così pure potremo prendere a 
piacere una delle quantità « e $, o prendere a piacere il 7 e una delle quantità 
m e n, restando allora per l’altra delle quantità « e #, o delle # e x la condizione 
di dovere soddisfare alla (109) o alla (110); con che quando si abbiano da appli- 
care i processi dei SS 41 e seg. si avrà da determinare una funzione regolare @ 0 £, 
o un'altra 72 o 7 che soddisfi a una equazione a derivate parziali del 1° ordine o 
che prenda dati valori su tutto o parte del contorno. 
E quando invece di una sola delle due quantità m e 2, e di 7 si prendano a 
piacere le due m e x, come avvenne appunto in casi particolari nel paragrafo pre- 
cedente, allora la (109), se w o % non saranno zero si ridurrà ad una condizione 
dlogy/r 
dp 
per i valori di su tutto o parte del contorno; talchè quando siano da ap- 
plicarsi i processi dei $$ 27 e seg. la questione si ridurrà a determinare una fun- 
! - But vi doge 
zione J/7 per la quale sono dati i valori di sure su tutto o parte del contorno 
e che soddisfa a una equazione a derivate parziali del 2° ordine. 
E ricordiamo sempre che quando si venisse ad avere T=0 0 ®,=0 in tutto 
il campo €, bisognerà avere riguardo a quanto sì disse per questo caso nel $ 21 
o in fine dei due paragrafi precedenti. 
51. Sì in questo caso poi in cui su tutto o parte del contorno del campo C che 
3 gi QU SADE 
si considera è dato il valore di % = ; -+ XU, come anche nel caso precedente in cui è 
(o 
% 
dato U su tutto il contorno, se in questo campo C l’equazione data in alcuni spazî 
superficiali 0, sarà di tipo ellittico, e in altri 0, sarà di tipo parabolico, i risultati 
precedenti varranno ancora quando negli spazî 0, e 0, saranno soddisfatte le con- 
dizioni rispettivamente date nei paragrati precedenti pei casi di questi spazî sepa- 
ratamente; e ciò con funzioni 7 e y, e 12 e n, 0 @ e $ sempre regolari e tali che 
considerate negli spazî stessi 0, e 0, separatamente soddisfino alle condizioni rispet- 
n H,ke _H,4 $ 
GARE b 
la equazione è del tipo parabolico, per il che gioverà il potere prendere in tutto C 
m=n=0,ea=—H,,g#=—H,. 
Se poi la equazione data (1) sarà di tipo ellittico in tutto C fuori che lungo 
un numero finito di linee o in un numero finito di punti, allora, come più volte 
abbiamo detto, l’ esservi queste linee o questi punti speciali non porterà eccezioni 
nei risultati, purchè l'integrale e le varie funzioni che devono considerarsi si man- 
tengano regolari anche lungo qelle linee, o in quei punti singolari, o purchè possano . 
applicarsi le considerazioni del S 44. 
IO, 5 m 3 A 
tivamente indicate, inclusa quella nia negli spazî 0, dove 
