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52. Un terzo caso interessante di unicità degli integrali della equazione (1) per 
condizioni date al contorno del campo C che si considera, è quello in cui su tutte 
o anche soltanto su alcune delle linee del contorno stesso, e dipendentemente sol- 
tanto dalle linee stesse, e non dai valori di U o delle sue derivate, il valore di L, 
si riduce alla forma L, =4U, con 7, positivo o nullo. 
Questo caso, secondo quanto si disse al $ 5, 3°, non può presentarsi altro che 
quando, se non in tutto C, almeno lungo le dette linee la equazione data (1) 
è del tipo parabolico, e le linee stesse sono le caratteristiche ady — dda =0, 
o ddy— cede == 0, con che allora sarà ($ 5, 3°) 
ia ME (m_ n 
Li = ( (2 H,) DE (m H,) TE j0 
e per essere — =7 Se sì suppone al solito che non sia a=0, avremo anche: 
1 da 
Li = 7 (aH, — bHx) de U O 
quindi quando sulle linee stesse il prodotto (AH, — bHx) - sia negativo o nullo, 
la parte dell’ integrale fimud che sarà estesa a quelle linee risulterà positiva 
o nulla senza bisogno di porre condizioni nè per U nè per le sue derivate lungo le 
linee stesse. Per le parti rimanenti del contorno invece potremo porre quelle condi- 
zioni che vorremo per le quali l'integrale stesso Je L, U ds risulti positivo o nullo; 
e in particolare lungo quelle parti di altre linee caratteristiche che facciano parte del 
contorno sulle quali il prodotto 1 (aH, — 5He) (© sia diverso da zero e positivo, 
potrà essere dato il valore di U, e lungo le rimanenti linee del contorno essere dato 
ancora U o il valore della espressione n TAO quando per quest’ultimo caso 
le linee corrispondenti siano fra quelle che soddisfano alla equazione (110) e lungo 
le quali nou si ha w= 0 (cioè non corrispondano a caratteristiche); e quindi noi pos- 
siamo ora evidentemente affermare che « quando la equazione data (1) sia del tipo 
« parabolico in tutto un campo €, e del contorno di questo facciano parte linee carat- 
« teristiche, o più generalmente quando, potendo la equazione (1) nell'interno del 
«campo dato C in tutto o in parte essere anche del tipo ellittico, vi siano lince del 
« contorno lungo le quali essa è del tipo parabolico e queste ne siano le caratteristiche, 
« allora avremo al solito la unicità degli integrali della (1) in tutto C quando su 
« quelle fra le linee caratteristiche stesse, o parti di queste, lungo le quali il prodotto 
“ 1 (Hy — dHe) © è negativo o nullo non siano dati nè i valori di U nè quelli 
