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« della sua derivata, e sulle altre di quelle linee, o parti di esse, quando ve ne 
«siano, come sulle parti rimanenti del contorno siano date U o la espressione 
dU . dn : ì 
« hh eat AU e il campo C appartenga alle regioni considerate nei paragrafi pre- 
« cedenti; intendendo però sempre che quelle linee, o porzioni di linee, lungo le 
« quali sia data la espressione 5 -+ 4U debbano essere fra quelle che soddisfano 
« alla equazione (110) e lungo le quali non si ha w=-0; e supponendo, come ab- 
« biamo detto, che lungo le caratteristiche che fanno parte del contorno il coefficiente 
“a non Sia zero ». 
53. Aggiungiamo che questo caso delle equazioni di tipo parabolico, finora poco 
studiate, conduce anche ad altri risultati notevoli. To però riservo questi ad un’ altra 
Memoria. Ora mi limito soltanto a fare rilevare in particolare che quando il contorno 
di C sia formato da due linee caratteristiche c, e co ady— ddx = 0, e da altre 
linee o per le quali l'integrale fi LU ds abbia valori positivi o nulli, allora se 
nell'interno di C saranno soddisfatte le condizioni A), o B) o C) e su una delle 
da 
ds 
diverso da zero e positivo, mentre sull’altra cs non sarà mai positivo, la funzione 
integrale sarà perfettamente determinata quando per le due caratteristiche c, e cs 
saranno dati i valori della funzione soltanto sulla c1; e sulle linee rimanenti o 
saranno pure dati i valori della funzione medesima o altre condizioni che assicurino 
dette linee caratteristiche p. es. sulla e, il prodotto 2 (all, — bH,) 3 sarà sempre 
che gli integrali Ja LU ds estesi a questa linea o non possono mai portare valori 
negativi. 
E così, più particolarmente ancora, se per una equazione (1) del tipo parabolico 
le linee caratteristiche sona linee indefinite e la distanza fra due di esse e, e cs 
contata sulle trajettorie ortogonali non supera mai una certa lunghezza 7, allora 
quando si sappia che nella striscia C racchiusa da queste caratteristiche sono sod- 
disfatte le condizioni A), o B), o C) del $ 47 e i coefficienti della equazione e le 
loro derivate si mantengono numericamente inferiori a un numero finito, e 4 non si 
accosta a zero più di un certo numero, e al tempo stesso si sa che coll’ allontanarsi 
a distanza infinita l'integrale U della (1) e la derivata S tendono ambedue a zero 
in modo uniforme (cioè in modo che da una certa distanza in poi si mantengano 
sempre numericamente inferiori a qualsiasi quantità data comunque piccola), l’inte- 
grale U della equazione stessa (1), se esiste, sarà pienamente determinato quando ne 
sia dato il valore soltanto su una caratteristica c, sulla quale il prodotto 1 (aHy-D) U 
sia sempre positivo, supposto che sull'altra caratteristica c» lo stesso prodotto sia 
sempre zero o negativo. E quando anche sulla e, vi siano alcune porzioni lungo le 
quali il medesimo prodotto è zero o negativo, su queste porzioni il valore dell’ in- 
tegrale potrà non essere dato e risulterà determinato (quando esiste) dai valori dati 
sulle porzioni rimanenti. 
