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Ricerche sulle superficie del 3° ordine. 
Memoria di RICCARDO DE PAOLIS 
proposta al Presidente per la stampa 
nelle ferie accademiche dell’anno 1880-81. 
PARTE PRIMA 
SUI €OVARIANTI E CONTRAVARIANTI DELLE SUPERFICIE DI 3° ORDINE 
Le superficie di 3° ordine oltre al pentaedro covariante di Sylvester posseggono 
‘© un pentagono contravariante la cui considerazione permette di trovare la rappresenta- 
zione geometrica delle principali forme invariantive di una cubica quaternaria, le quali 
si sono presentate quasi contemporaneamente a Salmon (') ed a Cledsch (°). 
Merita speciale considerazione un complesso tetraedrale, forma mista della cubica 
quaternaria, dal cui studio, come farò vedere nella seconda parte di queste ricerche, 
si può trarre il significato dell’annullarsi d’alcuni importanti invarianti della super- 
ficie di 3° ordine. 
I. I 6 sistemi di coordinate che si presentano in una certa figura F 
di 15 piani 15 punti e 20 rette. 
1. Poniamo 
(1) Xni= Pri x + Pria La + Pri d3 + Pri di 
XCn= Pin Cr + Pino Ca + Ping 3 + Pin x, 
allora, se Pos PDa=0, 
abbiamo Cn tQRa=0, 
e le (1) rappresentano uno stesso piano P};. Estendendole alle combinazioni binarie 
di 6 indici &, è, k, l, m, n, colle condizioni 
(2) Cie a = 0, 
abbiamo una figura F di 15 piani P};, 15 punti p,;; e 20 rette r,,,, così disposta: 
un piano P,; appartiene a 4 rette. v%; Tair Trim him » 
ed a 6 punti xy Pim Pmi: Pin Pim Pmn 5 
un punto Pni appartiene a 4 rette. ©;m Timn Pmnk Patt» 
è eda t6nRpianiee, Ba ParPaPo Pin 
una retta r,,, appartiene a 3 punti Pym Pmi Pat» 
ed a 3 piani P,; Pa Pan - 
La figura F si può costruire prendendo le 8 facce di due tetraedri omologici, i 6 piani 
che appartengono alle coppie di spigoli corrispondenti, ed il piano di omologia. 
(') On quaternary cubies. Philosophical Transactions. Vol. 150. 
(*) Veber eine Transformation der homogenen Funcetionen dritten Ordnung mit vier Verànderliehen. 
