V. Le 6 superficie di 3° ordine, e le 6 di 3? classe, 
che determinano una stessa figura F. 
21. L'equazione d’una superficie di 3° ordine si può sempre porre sotto la forma 
canonica 
azotate Ban =0, 
ed in un modo solo. I 5 piani 2,,=0 sono le facce P,, del pentaedro II, di Syl- 
vester. Variando i rapporti a: d:c:d:e si ottiene un sistema cof di superficie di 3° or- 
dine tutte dotate dello stesso pentaedro II, 
Il piano polare di un punto 4 rispetto a 0, è 
} Tr 19, (40, 19) 9 } 19, ; dr È 
ala dn + be io + Lo + A dm Ca ade 509 0 
se 2' cade in un vertice Piz del pentaedro abbiamo 
r 
L pa == Tim = Cir =") 9 
e Ot by = 0, 
quindi p;, ha per piano polare 
dCri + d L'ng 10 ’ 
Xhi Cn Ch == (0) 
ed il suo coniugato armonico rispetto a P,; Py, è 
Cri Cm + Cin=" 0. 
Data una superficie di 3° ordine i 
piani polari dei vertici p,, del pentaedro 
di Sylvester passano per gli spigoli op- 
posti Px;Pn,, ed i loro coniugati armonici 
rispetto alle coppie di piani P;;P,, sono 
le facce di uno stesso pentagono myxche 
insieme a II, forma una figura F. 
Inversamente 
Data una figura F_ ogni faccia P,, 
di un suo pentagono n, determina un 
piano coniugato armonico rispetto. alle 
due facce P,;P,, del pentaedro II, si 
hanno così 10 piani che sono polari dei 
vertici di II, rispetto ad una stessa su- 
perficie di 3° ordine che ha TI, come pen- 
taedro di Sylvester. 
Data una superficie di 3° classe i 
poli delle facce P,, del pentagono nr di 
Sylvester stanno sugli spigoli opposti px; Pr: 
ed i loro coniugati armonici rispetto alle 
coppie di punti pri Pa Sono i vertici di uno 
stesso pentaedro II, che insieme a ny for- 
ma una figura F. 
Data una figura F ogni vertice p;n 
di un suo pentaedro II, determina un 
punto coniugato armonico rispetto ai due 
vertici PriPa del pentagono mn, si hanno 
così 10 punti che sono poli delle facce 
di tm rispetto ad una stessa superficie 
di 3° classe che ha n, come pentagono 
di Sylvester. 
Segue subito che ogni superficie di 3° ordine 
Un = a di = Dn + c° dn ed Ta pm Gu? e? CCOTdA —=0 
ne determina una della terza classe 
In au + bw + e? ut dum + e Uri 107 
in modo che il pentaedro II, di Sylvester, ed il pentagono 7, pure di Sylvester, re- 
lativi a ox, X,, formano una stessa figura F. 
Le superficie on, Z, sono polari reciproche rispetto alla quadrica centrale di F. 
