— 139 — 
nel risultato un fattore numerico che sarà il numero delle permutazioni delle serie 
simmetriche ('‘). 
27. Ecco alcuni esempî. 
Applicando il metodo esposto all’espressione simbolica della Hessiana di 7, si trova 
immediatamente 
LN 9 
e = (a67Y 0)? La Bi Va Ò, = 24 W? Dn hr Wp Chan + 
Dai due invarianti fondamentali d’una curva piana di 3° ordine si deducono 
per o, due contravarianti 
h 
s= (@Byu) (873 (Ydav) (dabu= us 
C- (@fyu) (879) (Jeau) (pacu) (d:pu?=u%, (3) 
di 4° classe 4° grado, e di 62 classe 6° grado. 
Esprimendoli coi coefficienti della forma canonica abbiamo 
se 24 W3 De (Uni Unn) (Unn—Unn) (Uni—Unn) (nm Un) (°) 
0 Wi 2 x bede (Uni i)? (Wym Un)? (Un Uhm) (Uni Un) 
+2 2cde? (Upy—Upn)® (nm nn) —Zd° 0° (Unn—Urn)8 
Le superficie $S—=0 €=0 sono della 4° e della 6° classe, la prima è l’invi- 
luppo dei piani che segano cz secondo cubiche equianarmoniche, la seconda è l’in- 
viluppo dei piani che la segano secondo cubiche armoniche. La sviluppabile di 24 classe 
formata dai piani tangenti comuni ad S è € è la sviluppabile dei piani tangenti sta- 
zionarî di 0,. L'equazione di o, in coordinate di piani è 
66°— Sì —0 (*). 
VIII. Alcuni dei principali contravaranti e covarianti 
della superficie di 3° ordine. 
28. Se @," u," sono un covariante ed un contravariante della ‘cubica c,, ed 
n>m, la forma a,"7”" a," e un nuovo covariante, se poi m >» abbiamo un nuovo 
contravariante «,"- a,". Conoscendo due contravarianti 8, © combinandoli con &,3 ed 
H,f troveremo una serie di forme invarianti ve. 
29. Il contravariante w ed il quadrato «,3 8,3 di c, ci danno un covariante 
ata, Br, di 2° ordine e di 6° grado; onde esprimerlo in funzione dei coefficienti 
di 07, poniamo in 
(20) | uv = («Byu) (87du) (7d2v) (dev) 
(') Gordan, I. c. 
(*) Clebsch, Veber symbolische Darslellung algebraischer Formen. Crelle Bd. 59. 
(*) Salmon (l.c.) considera i contravarianti $ © che si presentano scrivendo l’equazione tangen- 
ziale della cubica, e trova la forma di S e ® quando è data l'equazione pentaedrale della superficie. 
Dall’ equazione del contravariante 8 si deduce subito che tocca i 10 piani diagonali di In 'Cremona, 
Preliminari ad una teoria geometrica delle superficie. 
 (!) Clebsch, I. c. 
