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ma dalle (3) abbiamo 
i LE Sr 
L=j,W"=15bblh-D1h:—612hI+12hbh—4h, 
dunque 
Una superficie di 3° ordine è armonica quando è nullo l’ invariante Je, d 
96° grado. 
8. Colle radici della (4) si possono formare 6 rapporti anarmonici distinti dati 
dall’equazione (‘) 
Ro (1-0+%2)? 
je (Fot @—0 (1-20) 
segue che anche una data superficie di 3° ordine possiede 6 rapporti anarmonici di- 
stinti i quali, essendo 
iù a Ip 
CSM 
sono dati da 
Ip — (1-w+%?)? 
IE (+0) (2-0)? (1-20)? 
9. La forma Hessiana della (4) è 
Digi (Q0)?0,30;*= cazz (WS api Wat, + WII At gi WIACpLI), 
‘e ( 
dove 
= 55 —=217 26=10k—2h5, 2G= 1061-24-55, 
X,=4hLbI-II, X=Lbblk—-4b5 
sono invarianti rispettivamente dei gradi 32 48 64 80 96. 
Per mezzo di questo covariante*Hessiano e degli invarianti Ip, Jp si possono tro- 
vare tutte le condizioni che sono soddisfatte quando due o più delle radici della (4) 
sono uguali; queste condizioni corrispondono ad altrettante proprietà invariantive della 
superficie cubica. 
10. Se I° — 63.3 =0 
la (4) ha due radici uguali, poniamo i 
pa= P3- 
Allora naturalmente la quadrica diagonalè D, tocca la quadrica centrale DT in 
un punto 03, nel quale vi sono due vertici del tetraedro Q. Gli altri due 01, 09 ri- 
mangono distinti. Così pure le 4 facce di Q si riducono al piano 03, tangente a 
T, D, in 03, contato due volte, e a due piani distinti 01, 0». Le quadriche T, D, 
si segano secondo una curva gobba di 4° ordine con un punto doppio in 035, dei 
coni che la projettano doppiamente due coincidono con quello che ha il vertice in 
031, gli altri due hanno 01,0, per vertici. I punti 0,, 0, stanno sul piano 03;, e le 
rette 03, 01, 0310, sono le due generatrici tagliate da 0g, nel cono col vertice in 034. 
11. Se identicamente 
dp Xp je Opf=0 , 
(') Clebsch, 1. c. 
