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V. Le varie superficie cubiche che hanno punti di flesso. 
16. Il discriminante della (5) è 
D° = A? — 64B (‘), 
ossia 
P= gr) (AK — K,°)? 27 (2.K, M34- 2K3M,—K3 Mo) 
Sostituendo i valori delle K, M in funzione dei 5 invarianti fondamentali I si trova 
(4KK3—K3°)? —2" (2K, My +2 Kg Me Kg Mo) 
divisibile per I, quindi se 
IRWRD 
F è un invariante gobbo potendo esprimere il suo quadrato razionalmente in fun- 
zione del 5 invarianti fondamentali poichè 
F° = Tr \ (4K,K3— K3?)? — 27 (2K, M3--2K;M1—K3Mp). 6 ((* ) 
\ / 
Contando i gradi delle K, M si trova che F° è di 200° grado. 
17. Sempre escluso il caso di W=0 abbiamo che F=0 sedue delle @,d, c,d, e 
sono uguali, poniamo 
O=08 
allora l’equazione della superficie è 
dt dat Ant (nt Em = 0, 
dove aGi + dep + CC dA (Lim + Ci) = 0, 
e quindi la superficie passa per il vertice p,, del pentaedro di Sylvester e possiede 
tre rette che passano per p,, e stanno nel piano diagonale p,ntzmn () [9]. che è un 
piano tritangente coi tre punti di contatto riuniti. La quadrica polare di p,, sì spezza 
nel piano Pmn n, ed in un altro piano P',,, coniugato armonico rispetto alle due facce 
Pim Pa, del pentaedro II, che passano per lo spigolo rm. 
Un punto per cui passano tre rette della superficie, le quali stanno in uno stesso 
piano, gode di proprietà analoghe a quelle di un flesso di una cubica piana, lo chia- 
meremo dunque flesso della superficie, diremo piano di flesso il piano tangente in 
esso, piano armonico l’altro piano che fa parte della quadrica polare. 
Se l’invariante E=0 la superficie ha un punto di flesso, e viceversa. 
18. Dalle equazioni delle facce P,,, di 7, e Pn di 77} si vede subito che de- 
vono coincidere quando e=d, segue che sopra P,,, abbiamo due triangoli Pri Phi Ph, 
P'uiP'iPn omologici poichè i lati corrispondenti si tagliano nei punti pi,pinpr della 
retta r,n, di P,,,, e le rette che uniscono i vertici corrispondenti passano tutte per 
il punto e‘, [17]. Ora nel connesso © ai punti pn; Pn: Pr corrispondono ordinatamente 
i punti pn;,PnPn, dunque il piano P,,, è un piano unito. Le considerazioni reci- 
| proche rispetto a T ci faranno coneludere che il punto pm, è un punto unito, e che 
sta sul piano E',, [17]. 
(') Abbiamo, D = (a--b) (a—c) (a—d) (a—) (b—c) (b—d) (b—e) (c—d) (c—e) (d—e), [38]. 
(*) Salmon, Philosophical transactions, Vol. 60, ha dato 1° espressione sviluppata di F?. 
(*) Eckardt, M. Annalen. 
