in cul 09,1, 22-.-,-1 Sono funzioni date: di x, soddisfa pure ad 
un'equazione differenziale lineare di n.° ordine. 
Formando le prime n derivate di z ed eliminando le derivate di y d’ ordine 
superiore all’(n—1).° per mezzo dell’equazione differenziale data, si otterranno n 
equazioni della forma: 
2°) =Pr0Y + Pr14 + Prey ++ Pony) 
in cui le p sono date funzioni di p e dei coefficienti della data equazione. Eliminando 
le y, y,..y071 dalle n+1 equazioni, si otterrà un’ equazione differenziale lineare 
di n.° ordine rispetto a 2. 
9. Se 71,2 + Yn Sono integrali particolari d’un’equazione dif- 
ferenziale lineare di n.° ordine, la funzione: 
i 3 U,Y1+ U9Yr +... + UmYma 
in cui U1,0,,...Un significano funzioni date di x, soddisfa ad un’equa- 
zione differenziale lineare l’ordine della quale è dato dal pro- 
dotto mn. Hit 
Infatti, formando le prime mn derivate della z ed eliminando le derivate delle y 
d'ordine superiore all’ (n—1). per mezzo dell'equazione differenziale data, si otter- 
ranno mn-+1 equazioni lineari fra le y e le loro derivate prime, seconde, ... (n—1).° 
dalle quali, eliminando queste mn quantità, risulterà un’equazione differenziale li- 
neare di (mn).° ordine rispetto a 2. 
Da mn equazioni di questo sistema si possono ricavare i valori delle y; si ha 
quindi il seguente teorema: 
4. Data la somma dei prodotti di m integrali’ particolari di 
un'equazione differenziale lineare per altrettante funzioni date, 
questi integrali si possono esprimere razionalmente colla somma 
data, le funzioni date, i coefficienti dell’equazione differenziale 
e le derivate di queste funzioni. 
o. Date due equazioni differenziali lineari trovare la condi- 
zione che dev’ essere soddisfatta affinchè esse ammettano uno 
stesso integrale particolare. 
Sieno due equazioni differenziali lineari, l’una dell’m.° e l’altra dell’ n.° or- 
dine. Formando le prime n—1 derivate della prima e le prime im—1 derivate 
della seconda, si avranno, colle proposte, m+-n equazioni lineari fra le m+n quan- 
tità y, y/, y"....y(+4), colle quali ‘equazioni queste quantità potranno venire eli- 
minate se le proposte, e quindi le loro derivate, sono omogenee. Se così non fosse, 
basterebbe formare ancora la derivata n. della prima equazione e 1’ m.° della seconda, 
e si avrebbero m+n+2 equazioni lineari fra le m+n+1 quantità y, y/, y/... y(®+". 
6. Trovare le relazioni che devono aver luogo fra i coefficenti 
di due equazioni differenziali lineari omogenee, affinchè una di 
esse sia soddisfatta da » integrali particolari dell’altra. 
Sia y1 un integrale particolare comune a due equazioni differenziali lineari 
omogenee, delle quali una sia dell’ ordine n.° e l’altra dell’ ordine m.° Formate le 
prime m—1 derivate di quella e le prime n—1 derivate di questa, si otterranno 
m-+n equazioni lineari omogenee rispetto alle 41, 4/1, Y/1,.. 121), dalle quali 
