MIRTO EE 
si ricdverà la relazione che dev’ essere soddisfatta dai coefficienti delle proposte af- 
finchè esse ammettano lo stesso integrale particolare 71; e si ricaveranno oltreacciò 
ld Ud 
Va Wa 
i rapporti Ti in funzione dei coefficienti delle proposte: equazioni e delle 
1 1 
loro derivate. Ora, trasformata ciascuna delle due equazioni differenziali colla sostituzione: 
y=y f vda, 
si otterranno altre due equazioni differenziali lineari omogenee rispetto alla fun- 
zione v, delle quali una sarà dell’ordine (n—1).° e l’altra dell’ ordine (m—1).°, e i 
Yo 
quindi esprimere in funzione dei coefficienti delle proposte equazioni e delle loro de- 
rivate. Se le equazioni date ammettono r integrali particolari in comune, è chiaro 
che le due trasformate in v avranno in comune r—1 integrali particolari. Trattando 
queste come le primitive, e così proseguendo, si arriverà infine ad una coppia di 
equazioni differenziali lineari che avranno in comune un solo integrale particolare. 
Epperò è chiaro che le relazioni richieste saranno quelle che esprimono che le due 
equazioni date ammettono uno stesso integrale particolare, e che la stessa proprietà 
ha luogo per ciascuna delle r—1 coppie d’ equazioni differenziali che da quelle sono 
state dedotte. 
7. Trovare le relazioni che devono essere soddisfatte dai coef- 
ficienti di due equazioni differenziali lineari omogenee di n.° 0r- 
dine, affinchè i quozienti di m integrali particolari dell’ una per 
altrettanti integrali particolari dell’altra sieno eguali a fun- 
zioni date. 
Sieno: 1, Y23 + Yn, m integrali particolari dell’ equazione: 
Y() + pr YA + i Par Yi + Pay 0 
e Yi, Ya, ..- Ym, altrettanti integrali particolari dell'equazione: 
VANNA) EE a Pel =, 
i quali sieno legati ai primi dalle formule: 
Ma = Y1U1 , Yo = YU, 0 Ne — Ym Um è 
in cui v, 2, ... n significano funzioni date. 
Formate le derivate della Y,, 1’ equazione differenziale alla quale soddisfa questa 
funzione prenderà la forma: 
YO + qu YO + Gar YA) + e + Qi Yin + Ir ye 0; 
nella quale le qg sono funzioni dei coefficienti P, della w, e delle sue derivate. Ma 
quest’ equazione deve sussistere insieme alla: 
Yi) + pays + pays + + Par Y + Pay 0; 
epperò indicando con: 
coefficienti delle quali saranno date funzioni dei rapporti ,... 6 si potranno 
ASC10f 
la risultante dall’eliminazione di y, da queste due equazioni, le relazioni richieste 
saranno : i 
AE 10 RASO RERTAFN 108 
8. Dato il quoziente di due integrali particolari di un’equa- 
zione differenziale lineare omogenea, trovare questi integrali. 
