risulterà: 
e derivando ancora: 
z , z 
(++... + n= (>) —p_—-—%mMq. 
3 
In generale, posto: 
ti" ua tal: aumiio00 ari do — ZL 
si avrà derivando: 
mn 
tl lhi + tl TY, — pl qa. 
Dunque le somme delle potenze simili delle t,,t2,...&m, sì possono esprimere 
razionalmente in funzione di z,p,qg e delle derivate di queste funzioni; in conse- 
guenza si potranno pure esprimere razionalmente, in funzione di 2, p, g e delle de- 
rivate di queste funzioni, i coefficienti dell’equazione di m.° grado che ha per ra- 
dici le ti, ta, ..- tm 
11. Dato il prodotto di m integrali particolari d’un’equazione 
differenziale lineare omogenea di n.° ordine, sì possono esprimere 
razionalmente per mezzo suo, delle sue derivate, dei coefficienti 
dell’equazione data e delle loro derivate, i coefficienti d’un’equa- 
zione algebrica di m.° grado tale che, indicando con ti,t2,..-tm le sue m 
radici, quelli m integrali sieno dati dalle formule: 
fida 447 Smda o 
x 9 PANIC MO 5 
Sieno Y13 Ya, Ym m integrali particolari d’un’equazione differenziale lineare 
omogenea di n.° ordine, e sia: 
Yi Yo 0 YUmE=38 + 
Le derivate di questo prodotto sono funzioni lineari di somme di termini della 
forma: 10%) yo”)... Yn() le quali non mutano cogli scambi degli indici. Nelle 
derivate d’ordine superiore all’(n—1).° le « possono essere eguali ad n o mag- 
giori di n, ma eliminando le derivate delle y d’ordine superiore all’ (n—1).° per 
mezzo dell'equazione differenziale data, si riprodurranno le somme corrispondenti ai 
valori di a minori di n; epperò, formando un sufficiente numero di derivate, si ot- 
terranno tante equazioni lineari rispetto alle dette somme, quante occorrono per cal- 
colarle, ed è chiaro ch'esse risulteranno funzioni razionali di z, delle sue derivate, 
dei coefficienti della data equazione differenziale e delle loro derivate. Ora alcune di 
queste somme contengono soltanto le y e le loro derivate prime, e sono propriamente n; 
indicando con 1, quella i cui termini sono prodotti di m—r delle y per le derivate 
prime dell’altre », è chiaro che il quoziente? sarà la somma dei prodotti ad r 
Un dale 
YA ò Y2 Ym 
mente in funzione di 2, delle sue derivate, dei coefficienti della proposta e delle loro 
ad r degli m quozienti . Si possono dunque esplimere razional- 
