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derivate, i coefficienti dell’ equazione di m.° grado che ha per radici gli m quozienti 
Ya Ya Yam 
12. Il prodotto di m integrali particolari d'un’ equazione dif- 
ferenziale lineare omogenea di n.° ordine, soddisfa ad un’ equa- 
zione differenziale lineare omogenea l’ ordine della quale è dato 
dalla formula: 
n(n+1)(n+2)..(n+m—1) 
EZIO 
Se yi, Ya. Yn sono integrali particolari d’ un’ equazione differenziale lineare 
omogenea di n.° ordine, Je derivate del prodotto: y1 2... Yn, come è stato osser- 
vato al N.° precedente, sono funzioni lineari di somme di termini della forma: 
Ya) yo)... Yyn(#9), le quali somme non mutano cogli scambi degli indici, e nelle 
quali i numeri &,, &2, +. @n sono tutti quelli della serie. 0,1,2,..n—1; epperò è 
chiaro che queste somme sono tante quante sono le combinazioni complete di n cose 
ad m ad m, cioè: 
n(n+1)(n+2)...(h+m_—1) 
1.2.3...mM ° 
Indicando con r questo numero e formando r derivate dell’equazione: 
Yi Ya YUnE=3 
si avranno, con questa, r+1 equazioni lineari rispetto alle somme suddette, per cui 
tali somme potranno venire eliminate, e ne risulterà un'equazione differenziale lineare 
omogenea di r.° ordine rispetto a z. 
13. Sieno y1, %a,---Yn n integrali particolari d’un’ equazione 
differenziale lineare omogenea di n.° ordine dei quali sia cono- 
sciuto il prodotto: y1%...Y=Z2, e sieno v1,v2,...v, funzioni date 
di x. Se un’altra equazione differenziale lineare omogenea di n.° 
ordine è soddisfatta dagli n prodotti: y1%1, ya, -. YnUn, i suoi coef- 
ficienti si potranno esprimere razionalmente per mezzo di z, dei 
coefficienti della prima equazione, delle v, delle derivate di queste 
‘funzioni, e delle radici d’un’equazione algebrica di n° grado i 
cui coefficienti si possono esprimere razionalmente in funzione 
di z, dei coefficienti dell’equazione differenziale data e delle de- 
rivate di queste funzioni. 
Indicando con Y1, Ya... Y, n integrali particolari d’ un’ equazione differenziale 
lineare omogenea di n.° ordine, uno qualunque dei suoi coefficienti è eguale al quo- 
ziente di due determinanti di n.° ordine in ciascuno dei quali gli elementi della 
linea r.° sono derivate di diversi ordini, non escluso l’ordine zero, della Y,, men- 
tre gli elementi d’una stessa colonna sono derivate d’ uno stesso ordine delle Y,, Ya...Y,. 
Ora posto Y,= y,,, le derivate della Y, saranno funzioni lineari di prodotti di y, 
per derivate di «,, di guisa che ciascuno dei determinanti che si considerano sarà 
una funzione lineare d’altri determinanti di n.° ordine nei quali gli elementi della 
linea r.© saranno prodotti di derivate di y, per derivate di w,, mentre gli elementi 
d’ una stessa colonna saranno prodotti di derivate, d’uno stesso ordine, delle 1, Ya.--U/» 
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