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per altrettante derivate, d’uno stesso ordine, delle w,, 3, .. n; eppero ciascuno di 
questi ultimi determinanti sarà eguale al prodotto di z per un determinante della 
Y 
== 
Yr 
Uk) 
7 
, î AR e o a y,(%) 
stessa forma in cui la y,(° sia sostituita dal quoziente Frs Ma posto 
q Y; p 
il quoziente 
GI) : 7 . ° : 
J si potrà esprimere razionalmente in funzione di #, e delle sue 
È 
derivate, od anche, in virtù dell'equazione algebrica alla quale soddisfa 6 (11), esso 
sì potrà, esprimere razionalmente in funzione di t,, dei coefficienti di quest’ equazione 
e delle loro derivate. È dunque dimostrato il proposto teorema, col quale viene estesa, 
alle equazioni differenziali lineari omogenee di qualunque ordine, una proprietà di 
quelle del second’ ordine, dovuta a Brioschi ('). 
14. Sieno y1,Y2...ynintegrali particolari d’un’equazione differen- 
ziale lineare omogenea di n.° ordine dei quali sia conosciuto il pro- 
dotto: V1%2..-YUn=z, e sia « una costante qualunque. Se un’altra 
equazione differenziale lineare omogenea di n.° ordine ammette 
gli integrali particolari: v1%, y2°... yn°, i suoi coefficienti si potranno 
esprimere razionalmente in funzione di z, dei coefficienti della 
prima equazione e delle derivate di queste funzioni. 
Ys 
6) 
T 
Bostorsne ye =t,, si troverà facilmente che la derivata s.° di Y, è 
eguale al prodotto di y,“ per una funzione razionale di t,, che indicheremo con (t,, 8), 
i coefficienti della quale sono funzioni razionali di z, dei coefficienti della proposta 
equazione e delle derivate di queste funzioni. Di quì risulta che se un determinante 
di n.° ordine ha la linea r.© costituita da derivate di Y,, in modo che gli ele- 
menti d'una stessa colonna sieno derivate d’uno stesso ordine di Y,,Ya,...Yn, @ss0 
sarà eguale al prodotto di z* per un altro determinante dello stesso ordine nel quale 
gli elementi della linea r.° saranno n delle funzioni (t,, s) corrispondenti ad n 
diversi valori di s e gli elementi d’una stessa colonna saranno ordinatamente 
(11,5), (ta, 5), «... (tn, 8). Questo determinante è dunque una funzione razionale delle 
(t,, s) la quale muta soltanto di segno collo scambio di due delle t. Ora uno qua- 
lunque dei coefficienti dell’equazione differenziale lineare omogenea di n.° ordine 
che ammette gli integrali particolari: y1%, y2%,...yn%, è eguale al quoziente di due 
determinanti della forma considerata, ‘© quindi al quoziente di due funzioni razionali 
delle t1, ta ...t,, ciascuna delle quali cangia soltanto di segno collo scambio di due 
delle #. I coefficienti di quest’equazione differenziale sono dunque funzioni razionali 
simmetriche delle t,, ta ...t,, i coefficienti delle quali sono funzioni razionali di 3, dei 
coefficienti dell'equazione differenziale data e delle derivate di queste funzioni; e 
potendosi esprimere tali funzioni simmetriche, e razionalmente, coi coefficienti dell’equa- 
zione algebrica che ha per radici le t1, ta... tn, risulta dimostrato il teorema enun- 
ciato, nel quale è compresa una proprietà dell’equazione differenziale lineare omoge- 
nea del second’ ordine trovata da Hermite (*). 
(') Annali di Matematica, luglio 1880. 
(@) Annali di matematica, gennaio 1881. 
