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1. Dico che una funzione a due variabili fi(2, y) ® è rappresentabile per 
serie doppia trigonometrica, se si può assegnare un aggregato della’forma 
x_ 0 
>; Di BW — BO + BM BAL } 
fa 0 0 0 
B009) sta BA) + BA — SIRO 
1 1 1 
B0 + BW BO + 
2 2 2 
il quale abbia significato soltanto per quelle coppie di valori di w e di y, per ciascuna 
delle quali il simbolo f1(x,y) esprime una grandezza. 
In questo lavoro ammetto che la serie &' abbia significato nel punto (2,7), oppure, 
n m 
ciò che torna la stessa cosa, sia nel punto (, 7) convergente, quando la somma Xv 2 BI 
00 Ù 
tenda nel medesimo ad uno stesso limite al successivo annullarsi delle quantità —- 
m 
Jea REA : 
ed il quell’ ordine che si vuole. 
Circa alla funzione /1(@,y) non si fa veruna ipotesi, tolta quella della doppia 
periodicità secondo 27, la quale dee verificarsi necessariamente affinchè essa possa 
esprimersi nel modo indicato. 
2. La condizione che l’insieme CS converga soltanto in ciascuno di quei punti 
pei quali esiste la funzione considerata potrebbe a prima giunta parere alquanto 
restrettiva. Ma, nella generalità della nostra ricerca mi sembra conveniente l’accet- 
tare la data definizione, perchè semplice e spontanea. 
Parmi che anche Riemann la pensasse in questa guisa. 
Ed invero, nella Memoria Sulla rappresentabilità di una funzione per serie 
trigonometrica egli ragiona così :..... betrachten wir die Reihe 
a, seno da sen 20 +. . 
4 bo + bi cos. + da cos 2Xx+.... 
oder, wenn wir der Kirze wegen 
4bo= Ao, aiseno+ by cose = A1, asen2a + da cos 2x = Aa, ..... 
setzen, die Reihe 
Ahp+A1+A9 +... . 
als gegeben. Wir bezeichnen diesen Ausdruck durch Q und sei- 
nen Werth durch f(x), so dass diese Function nur fir diejenigen 
Werthe von x vorhanden ist, wo die Reihe convergirt (). 
(') Vedi le Opere di Riemann, pag. 231. 
4 xo Zu | (e0 sen po + al RETI ) sen gn aC 7 cos ue) cosvy | = 
