Riemann cerca quindi delle condizioni cui soddisfa questa funzione in conse- 
guenza della sua esprimibilità per serie trigonometrica, dalle quali poi procura di 
dedurre delle sufficienti affinchè una funzione qualsivoglia sia rappresentabile nel 
modo indicato. Ammette dunque che una funzione f(x) sia esprimibile nella maniera 
voluta, quando si abbia 
f(a)=4 bo + zn (a, sen na + d, 608 ne) 
ovunque il simbolo f(x) ha significato, mentre altrove la serie diverge. 
Nè, accettando in questo lavoro la definizione accennata, intendo dire che in 
casi particolari non possa riuscire talvolta più opportuna una ipotesi alquanto più 
larga. Così dico, ad- esempio, nella mia Memoria, Sulla serie di Fourier (*): 
Una funzione f(x) continua, tolto un numero limitato di punti 
del tratto 027, si dirà esprimibile per serie trigonometrica, 
«quando si abbia 
f(a)= 2" (a, senna + db, cos ne), 
10 
ad eccezione dei punti singolari della f(x) e di un gruppo di punti 
di ordine finito nell’intervallo 027, non facendosi alcuna ipotesi 
civca alla serie 
n (a, senna + db, cos na) 
(0) 
nei punti indicati. 
Nelle Nuove ricerche sulla serie di Fourier (*) mi esprimo così: 
Dico che una classe T è esprimibile per serie trigonometrica, 
quando si può assegnare una serie della forma 
Xn (a, senno + db, cos na) 
0 
tale, che, fatta astrazione di un gruppo di punti di ordine finito 
nel segmento 027, in ciascuno dei quali si ignora il suo modo 
di comportarsi, la somma della medesima oscilli per ogni valor 
particolare della x tra due quantità 0(e) e 8(0) (0: (@)=0(2)) 
appartenenti alla classe data. 
L’asserire poi come Riemann la pensasse in casi particolari non riesce invero 
facil cosa. 
‘Infatti, a pag. 223 dopo aver enunciato due teoremi di Dirichlet dice: 
Hieraus folgt, dass durch eine trigonometrische Reihe jede 
sich nach dem Intervall 27 periodisch wiederholende Function 
darstellbar ist, welche 
I durchgehends eine Integration zulàsst, 
2 nicht unendlich viele Maxima und Minima hat und 
3 wo ihr Werth-sich sprungweise àndert, den Mittelwerth 
zwischen den heiderseitigen Grenzwerthen annimmt. 
(') Vedi gli Annali di Matematica di Brioschi e Cremona. T. VI. pag. 298. 
(*) Vedi le Memorie della Classe di scienze fisiche, matematiche! e naturali della R. Accademia 
dei Lincei. Serie 8a vol. II° pag. 634. 
CLASSE DI SCIENZE RISICHE ecc. — MeMoRIE —— Vor. VIII. Ì 34 
