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Eine Function, welche die ersten beiden Eigenschaften hat 
die dritte aber nicht, kann durch eine trigonometrische Reihe 
otfenbar nicht dargestellt werden; denn die trigonometrische 
Reihe, die sie ausser den Unstetigkeiten darstellt, wirde in 
den Unstetigkeitspunkten selbst von ihr abweichen. 
A pag. 245 Riemann asserisce: 
Von Functionen, welche unendlich viele Maxima und Minima 
haben, abgesehen, ist es also zur Darstellbarkeit der Function. 
f(x) durch eine trigonometrische Reihe mit in’ Unendliche 
abnehmenden Coefficienten hinreichend und nothwendig, dass, 
wenn sie fiir x=a unendlich wird, f(a+t)t und f(a—t)t mit t unen- 
dlich klein werden und f(a+t)+f(a—t) bis t‘=0 integrirt wer- 
den kann. l Da 
Suppongo per semplicità che la funzione f(x) di cui si fa parola nelle due 
ultime asserzioni sia ovunque definita nel tratto 027, esclusi al più i punti in cia- 
scuno dei quali essa va all'infinito, i quali manifestamente sono in numero limitato ('). 
Di più, lascio indeterminato il modo di comportarsi della serie trigonometrica in 
ognuno di questi ultimi. 
Ciò posto, stando alla prima asserzione si dovrebbe avere ovunque 
f(a) =" (a, sen na + d, cos na), 
0 
tolti i punti or ora indicati. Per la seconda asserzione all’ incontro la rappresen- 
tabilità potrebbe non aver luogo inun gruppo ovunque compatto del segmento 027. 
Infatti, la serie trigonometrica relativa ad una funzione /(x) scevra da infiniti. 
massimi e minimi, e per la quale sono soddisfatte le condizioni indicate or ora in 
ognuno dei suoi infiniti, converge in ciascun punto del segmento 027, fatta ‘astsa- 
zione, se mai, dagli infiniti della data funzione 2. Ora, ammesso che non si possa 
assegnare un tratto dell'intervallo 027.nel quale la f(x) è costante, sì potrà divi- 
dere il segmento 027 in un numero limitato di parti in ciascuna delle quali essa è 
sempre crescente o decrescente. Se il primo caso, per fissare le idee, ha*luogo nel 
tratto ab (0 <a <b<27), la funzione sarà al certo continua in un gruppo di punti 
ovunque compatto del medesimo, e potrà essere discontinua in una varietà di punti” 
pure ovunque compatta di ad 3. Se poi x è una discontinuità della f(2) (A<#<), 
i simboli f(x —0), f(2-=.0) avranno significato, e nel medesimo sarà 
Di (F( a 0)) — xn(a,sennag + d, cos na), 
0 
mentre si può ammettere f(a) = 4 (f(e—0) +f(r+ 0)), pur essendo /(2—0)< 
f(@)<f(c+ 0), la qual cosa è necessaria perchè la /() sia ognora crescente nell’in- 
tervallo ab. E si può supporre che ciò abbia luogo in ciascyn punto di discontinuità 
della data funzione appartenente al tratto @+- 0 b—0. Nello stesso modo si ragiona 
rispetto ad un intervallo del segmento 027 in cui la f(#) è ognora decrescente. — 
3. Ritornando al nostro argomento, si cercheranno prima delle condizioni necessarie 
(') A rigore la funzione di cui si fa parola nella seconda asserzione non è di necessità la stessa 
di cui si parla nella prima. 
