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Se supponiamo che il punto x cada nell’iutervallo 7— 7, il primo integrale 
convergerà, quale si sia il punto considerato, al valore 4/(@). Il secondo può spez- 
zarsi nei due 
T dra 
2 2 
1 sen 48 
_ + L+2 i dé 
n O | f ( 8) se (@ tI 
0 2 
dei quali il primo converge ad 4 f(x) all’annallarsi del quoto n. L'altro può pre- 
sentarsi sotto all’ aspetto 
Tr 
127 
1 sen 48 
— { —28) — dl 
= f(c+27—-26) dune dB, 
HH 
2 
ed è quindi nullo con =. 
In modo analogo si ragionerebbe se il punto contemplato cadesse nel segmento 
Ta+N. 
4. La serie di Fourier relativa ad una funzione f(2) perio- 
dica secondo 27 ovunque continua e scevra da infiniti massimi e 
minimi converge in egual grado. 
Consideriamo prima il tratto —x + x il quale può per ipotesi, dividersi negli 
intervalli (==) 21) 1 ©», 00) ci 2 (2) per modo, che in ognuno dei 
medesimi la funzione f(x) non sia crescente e decrescente. Il numero 7 sia poi il 
minimo che soddisfa alla condizione accennata. 
Ciò posto, è chiaro che si potranno assegnare tante funzioni quante si vogliono 
mai decrescenti le quali aggiunte alla data dieno una funzione che non è mai decre- 
scente nel segmento —x +7. Ammesso che la f(x) non decresca nell’intervallo xy 21, 
una funzione della natura voluta potrebbe costruirsi nel modo che segue. 
Sia ©() una funzione eguale a — f (1) nel tratto 20 01 ed a —f(@) nel seg- 
mento x, c». Nel terzo intervallo , @3 sia poi la (x) di nuovo costante ed eguale 
a — f (xa), nel quarto poi abbia il valore — (2) + ([(@)—f(c)). e così via. 
La funzione @(2)+f(x) non è mai decrescente nel tratto — + x ed altret- 
tanto ha luogo dell’altra © (x). La serie di Fourier relativa alla funzione 9 (2) + f (2) 
converge quindi in egual grado nel segmento — n+n n—0, e la stessa cosa si ve- 
rifica con la serie omonima corrispondente alla funzione ©(x) mai decrescente nel 
tratto — x +. Dunque anche la serie. di Fourier relativa alla f(4) converge în 
egual grado nel segmento —x+% 7—: 
Se si aggiunge alla (4) una funzione sempre crescente 9 (2), si otterrà la espres- 
sione @(x) + 0() la quale sommata all’altra /(0:) dà origine ad una funzione sempre 
crescente nel tratto — 7 + 7. 
