— vu 
Trasformando ora la f(x) in una funzione sempre crescente nel segmento 
\ 
—rn+n x— n, si avverte tosto che la: serie 
1 27 1 > 2T ° 
mu) F( (a) da+-— i” f(&)cosn (2-2) da 
0 
converge uniformemente anche nel medesimo. Il teorema è quindi dimostrato. 
Se f(2) è una funzione qualsivoglia appartenente ad una va-. 
rietà di funzioni periodiche secondo 27, uniformemente continue 
e tali, che si possa assegnare un numero m per modo, che nes- 
suna delle medesime muti più di m volte il suo andamento nel- 
l’intervallo 027 ('), la espressione 
DT 
I xn { f(a) cosn(a—x) da 
1 8 a ; 
î - ; 1 È 
si annulla in egual grado con Pa quando si possa assegnare una 
quantità M (>0) in guisa, che nessuna funzione dell'insieme dato 
raggiunga un valore maggiore della medesima, fatta astrazione 
dal segno. 
Trasformo la funzione qualsivoglia f(@) del nostro insieme per mezzo della 
funzione mai decrescente @(0) nel tratto — + in un’altra /(2) pure mai de- 
crescente nell’intervallo indicato giovandomi del metodo seguito or ora. È subito ve- 
duto che il sistema formato dalle funzioni @(x) è uniformemente continuo nella 
parte — + x e di conseguenza anche la varietà (2). Operando poi in modo analogo 
nel tratto 0 27 si scorge subito che la proposizione enunciata è vera. 
Ve. 
1. Ora possiamo illustrare con un esempio le nostre ricerche sulle serie trigo- 
nometriche a due variabili. 
Sia f(@,y) una funzione doppiamente periodica secondo 27 ed ovunque continua. 
Ammetto poi che si possa assegnare un numero m per modo, che la espressione 
f(&,y) non muti andamento più di m volte nel tratto 027, quando si consideri 
nella sua dipendenza da @, qualunque sia y. Una proprietà analoga abbia luogo 
rispetto alla variabile y. 
Ciò posto, ha luogo il teorema: 
La funzione f(@,9) è es taluno in egual grado per serie 
doppia trigonometrica della specie A. 
(4) Una funzione f(@) ha lo stesso andamento nel tratto ab, quando in esso non è crescente e 
decrescente. ; 
