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© Riemann, riferendosi a quanto disse poco prima, osserva a pag. 237: 
Wenn umgekehrt diese beiden Bedingungen erfillt sind, so 
giebt es eine trigonometrische Reihe, in welcher die Coefficienten 
zuletzt unendlich klein werden, und welche iberall, wo sie con- 
vergirt, die Function darstellt. 
In calce poi alla Memoria di Riemann vi sono tre note all’intento di rendere 
più facile l’intelligenza di alcuni passi della medesima. La prima tende a chiarire 
il periodo testè riportato. Io oserei però asserire che essa non corrisponde alle idee 
dell’autore. 
Ed invero, ivi si dice: 
Da die Function f(2)um 27 periodisch angenommen ist, so muss 
F(a+27) —F(@)=9(0) 
die Eigenschaft haben, dass 
p(ra+-6)—p (+a—6) —p(o_a+6)+p(r_a—6) 
498 i 
unter der im Text gemachten Voraussetzung sich mit a und f der 
Grenze 0 nahert. Es ist daher (2) eine lineare Function von ©,.. 
Rammento ora il teorema: 
Se (x) è una funzione continua nel tratto n+-0 n—0, mentre 
in ciascun punto del medesimo 
1(r+2a) —2l(a)+l(e—2a) _ 
lim =0L 
a=0 da? 
sarà in esso: 
l(a)= Ce + 0, 
essendo C e C due costanti. 
Ciò posto, perchè si abbia 
o(a)=0x + 0', 
la funzione f (4) dovrebbe esistere in ciascun punto del tratto a a + 27. 
Infatti, se la f(x) non esistesse soltanto in un numero limitato di punti 
1, La, L3 .... 0 del segmento accennato, la © (x) sarebbe della forma Eno + Fo, 
Boa +F,,...., E20+F, rispettivamente in ognuno degli intervalli ax1, 2122,» 
XC@+ 2r, mentre Exa +Fo= E101+ F1,, Ev + F1= Er 0,+ Fa, MENCRISI 
avrebbe di necessità. 
E=E1 , E=E, 0003 È Fio=F1 9 F,=Fs, 0090 0 
Adunque, il ragionamento fatto alla Nota 1 suppone che il simbolo f(x) abbia 
significato in ciascun punto del tratto 0 27, la quale ipotesi, lo ripeto, non mi sembra 
fosse nell’intendimento di Riemann, anzi io la reputo del tutto ad esso opposta. 
Ed invero, Riemann ammette che uma funzione f(x) periodica secondo 27, del 
resto qualsivoglia, sia esprimibile per serie trigonometrica, quando si abbia 
f(x) = n (a, sennae + d, cos na) 
0 
