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Adunque, non si deve supporre che la funzione f(x) sia ovunque definita, e di 
couseguenza non si può fare 
F(a +27) —F(2)=o(a) = Ca +0" 
Un esempio chiarirà quanto ho detto fin quì. 
Sia f (x) una funzione periodica secondo 27 definita in una varietà ovunque 
compatta di punti del segmento py(0 <p <q < 27) per modo, che non si possa 
assegnare un tratto di pg in ciascun punto del quale il segno f (@) abbia significato. 
Per semplicità genero nel modo che segue questa funzione. Pigliata una funzione 
continua qualsivoglia W (4) nel tratto pg, e determinato nel medesimo un insieme 
di punti ovunque compatto e tale, che si possa scegliere in una parte qualunque del 
segmento pg un punto che non appartenga alla varietà considerata, do alla f(x) 
in ogni punto di quest’ ultima il valore corrispondente della + (2), mentre altrove 
il segno f(x) non ha senso. | 
Ciò posto, costruisco la funzione fi (2) ovunque continna e finita. Questa funzione 
sia identica all’altra f(x) in ciascun punto in cui quest’ultima esiste, e la differenza 
fe +27)—fi (2) 
non sia mai zero nel tratto 0p — 0. È chiaro che la f(x) dovrà coincidere con la 
funzione $ (x) nel segmento pg, e che si dovrà avere 
h@+27=f(  f<a<9. 
Se supponiamo per semplicità che la 4 (2) sia positiva nel punto p, si potrà ope- 
rare nel modo che segue affinchè la differenza 
fi(e-+-22)— fi(0) 
non raggiunga mai lo zero nell'intervallo 0p—0. Sia fi (0) =W(p) il limite su- 
periore della f, (2) nel segmento 0p, e questo valore venga raggiunto una sol volta nel 
medesimo. Sia poi /1(27) il limite superiore della 1 (@) tra 2x e 27 + p, mentre 
f, (27) è una grandezza maggiore del limite superiore della % (x) nel tratto pge si ha. 
fn@<h(27) f(@>fh@r+p), <a <2r+p. 
Adunque, la differenza 
f(@)— fi (2) 
è nulla ove il simbolo f(«) ha significato, mentre altrove il segno 
f(@)— fi (0) 
non rappresenta una grandezza. 
Se ora ci proponiamo di studiare se la funzione / (2) è esprimibile per serie 
trigonometrica, avvertiremo tosto che la funzione 
ro=f" fa 
0 0 
è ovunque continua, e che si ha 
an Ea +2a)— Di +F(e—2a) — (6) 
u=0 
