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D'altra parte, fatta astrazione da un gruppo di punti di ordine finito del segmento 
X—& X+ 8, sì ha per ipotesi in ciascun punto di quest’ultimo: 
io (EE, 
a=0 x 
e perciò: 
F(a) — 0a So ( Fio) — aa È 2) == He, === 46, 
mentre H ed H' sono due costanti. 
Adunque, nel caso che la f (2) esista in ciascun punto del tratticello x — e 2 +e 
o non esista soltanto in un gruppo di punti di ordine assegnabile del medesimo l’asser- 
zione di Riemann è esatta. Se però il simbolo f (x) avesse significato, ad esempio, sola- 
mente in un gruppo di punti del primo ordine nel tratto comunque piccolo x — e a +e, 
non si potrebbe dire, se pur non m’inganno, che la convergenza della serie dipende 
dal modo di comportarsi della funzione considerata nelle estreme vicinanze del punto , 
ma bensì che essa dipende dall'andamento della funzione F (x) in esse vicinanze. 
L’asserzione di Riemann non avrebbe poi senso, se la funzione data f(@) esistesse 
nel punto x, nè mai în ognuno degli intervali #—ea—0,0+0 r+< 
Al teorema di Riemann si potrebbe sostituire forse quello che risulta dalle con- 
siderazioni seguenti, il quale mi sembra più preciso e più generale. 
Se si può assegnare una funzione F (@) ovunque continua, la cui derivata se- 
conda è la funzione f(@) periodica secondo 27, del resto data ad arbitrio, in ciascun 
punto della retta y= 0 in cui il simbolo f (x) rappresenta una grandezza, e se la F (2) 
può rendersi periodica secondo 27 togliendole un binomio della forma C' 2 + > x, esi- 
sterà una serie trigonometrica, la quale, se convergente in un punto in cui il segno / (2) 
ha significato, rappresenta in esso la data funzione. 
n ; i : 1 
Ciò posto, se questa serie ha il suo termine generale nullo con— per un va- 
lore particolare x, della variabile x, il convergere o meno dell’aggregato 
SnA,=SN (a,senne; + db, cos na) 
0 0 
dipende dal modo di comportarsi dell’integrale 
DIO O 10 na 1 
n° A.G(0) 0 0a TSerI CL 
È sen DI È 
all’annullarsi della quantità E, essendo 
G (1) Leo F (2140) 5 F (21 = t) (1). 
(') Vedi il T. VI. degli Annali di Brioschi e Cremona, pag. 332-340. 
