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Ora, se la / (2) esiste in ciascun punto di un segmento comunque piccolo rac- 
chiudente il punto 4x1, si potrà asserire che il convergere della serie 
xn (a, senna + Db, cos nx) 
0 
pel valore particolare considerato dipende, stando le altre ipotesi circa alla F (2), 
dall'andamento della data funzione nelle estreme vicinanze del punto 1. 
Ed invero, un’altra funzione F, (x) che ha le stesse proprietà della F (x) da 
origine alla serie trigonometrica Xr B, analoga all'altra DI A,, mentre per ipotesi 
0 
a ==0 
rv=0D90 
nel punto x3. Se poi facciamo 
Gi 0)= F, (er+t) — = Fale=0) 
9 0) 
vedremo tosto che nel tratto 21 — a a; +e sì ha 
Got G(0)= Ct+ Ci. 
L’asserto è quindi vero, perchè la funzione G (t) è completamente determinata 
nelle estreme vicinanze del punto «1, fatta astrazione da un addendo lineare. 
Altrettanto ha poi luogo se la funzione f (@) cessa di esistere in un gruppo di 
punti di ordine limitato dell’intervallo C—80+ e, comunque piccola sia la quantità e, 
perchè il coefficiente di cos nt si annulla in ognuno dei due sviluppi. 
xn (a, cos na, + db, sen na) cos nt, En (a, cos na, +D, senna;) cos ni, 
1 3 1 ) 
essendo 
A, =0@nc08 NA + db, Sen NK, B, = a', cos ne, + d', sen nai 
nel punto considerato. 
Se poi la f(x) esistesse, per esempio, solamente in un gruppo di Punti di ordine 
finito del tratto x — s we — e, si dovrebbe dire che la- convergenza della serie pel valor 
contemplato dipende dal modo di comportarsi della funzione G(t) nelle estreme vi- 
cinanze dell’ origine, ossia della F (x) in un tratticello arbitrariamente piccolo il. 
quale racchiude nel suo interno il punto che si contempla. 
9 La seconda nota alla Memoria di Riemann è del seguente tenore: 
«Hierscheintfirdie Function) (x) die Bedingung hinzugefùgt 
werden zu missen, dass sie sich nach dem Intervall 27 periodisch 
wiederholt, (die mit dernachhergemachten Annahme vertràglich 
ist). In der That wurde z. B. das in Rede stehende Integral nicht 
2 
sich der Grenze 0 nàhern, wenn PF) — C0-An5 = const. und ) (t) = 
(c— 0? gesetzt wiirde. Dagegen lisstsich unterder Voraussetzung 
