Fondamenti di una teoria dello spazio generato dai complessi lineari. 
Memoria del Socio RICCARDO DE PAOLIS. 
letta nella seduta del 15 febbraio 1885 
I. Il sistema nullo ed il complesso lineare. 
1. Siano P,, P», P3, Py, Ps cinque punti dati, quattro qualunque dei quali non 
giacciano sopra uno stesso piano, e siano 771, za, 703, 704, 703 rispettivamente i 
piani P;P1P», PiP3P3, PaP3P,, P3P;P3, PiPsP1. Facendo corrispondere proiettiva- 
mente ad ogni piano 77, il relativo punto P, viene individuato un sistema nullo (*), 
cioè una speciale reciprocità involutoria dello spazio per la quale ogni punto P 
giace sul corrispondente piano polare 7, e viceversa ogni piano 77 passa per il cor- 
rispondente polo P. 
In un sistema nullo ad ogni retta r corrisponde una retta reciproca x. Due 
rette reciproche non si incontrano, se hanno un punto comune coincidono. Vi sono 003 rette 
reciproche di se stesse, la forma che generano è un complesso lineare. In un piano 
qualunque esiste un fascio di raggi di un complesso lineare, quello che ha per centro 
il polo del piano; un punto qualunque è centro di un fascio di raggi di un com- 
plesso lineare, quello che giace nel piano polare del punto. 
Due rette reciproche rispetto ad un sistema nullo si dicono pure reciproche ri- 
spetto al complesso lineare da esso determinato. 
2. Quando si hanno due tetraedri contemporaneamente inscritti e circoscritti (*), 
facendo corrispondere ai vertici di uno i piani dell’altro passanti per essi, vengono 
individuate nello spazio infinite reciprocità, tra esse una sola è un sistema nullo, 
quindi i due tetraedri individuano un complesso lineare. Viceversa, quando si ha un 
complesso lineare, quattro punti non situati in uno stesso piano ed i loro quattro 
piani polari sono i vertici ed i piani di due tetraedri contemporaneamente inscritti 
e circoscritti. 
3. Dato un complesso lineare Cz, un punto arbitrario P1 determina il suo piano 
polare 773, su cui giace, preso ad arbitrio un punto Pa di 77} è determinato il suo 
(') Giorgini, Sopra alcune proprietà dei piani principali e delle coppie di forze equivalenti (Me- 
morie della Società italiana delle scienze. Vol. XX, 1827). — Mobius, Ueber cine besondere Art dua- 
ler Verhaltniss zwischen Figuren im Raume. (Crelle, Bd. X, 1833). 
(°) Mòbius, Kann von zwei dreisciligen Pyramiden eine jede in Bezug auf die andere um- und 
eingeschrieben zugleich heissen? (Crelle, Bd. 3, 1826). — Steiner, Systemalische Entwickelung ete. 
n, 58 (Berlin, 1832). 
