piano polare 773, che deve passare per Pi, Pa, preso ad arbitrio un punto Py di 773 è 
determinato il suo piano polare 773, che deve passare per Pa, P3, preso ad arbitrio 
un punto P, di 773 è determinato il suo piano polare 77, , che deve passare per P3, Py , 
e finalmente preso ad arbitrio un punto Py della retta comune ai piani 77,, 771 è de- 
terminato il suo piano polare 773, che deve passare per P,, Py, Pi. Il pentagono 
PP. P3P,P; ed il pentaedro 7777971377, 773 costruiscono il complesso C3. Si trovano 
così 001° costruzioni di un dato complesso lineare; ma tutte le possibili coppie di pen - 
tagoni e pentaedri che costruiscono un complesso lineare sono evidentemente c0!%, dunque: 
Icomplessi lineari sono co. 
4. Un particolare sistema nullo si può stabilire fissando una retta @ e prendendo 
come polo di un piano qualungne 77 il punto P in cui sega a, come piano polare 
di un punto qualunque P il piano 77 che lo proietta da «. Ogni punto di a ha per 
piani polari tatti i suoi piani, ogni piano di a ha per poli tutti i suoi punti. Il com- 
plesso lineare speciale individuato da questo particolare sistema nullo è generato da 
tutti i raggi che si appoggiano alla retta a, la quale è l’asse del complesso spe- 
ciale, e, siccome questo è individuato dal suo asse, possiamo dire che: 
I complessi lineari speciali sono cof. 
Rispetto ad un complesso lineare speciale ogni retta è reciproca dell’asse. 
5. Una retta appartiene ad un complesso lineare se incontra la sua retta reci- 
proca, dunque: 
Fissare la posizione di un raggio diuncomplesso lineare equi- 
vale ad una condizione. 
Quanti sono i complessi lineari che passano per cinque rette date ad arbitrio? 
Chiamiamo a, cinque raggi qualunque di C3. Se il piano 73, polare di un 
punto P, di a;, sega a» in Pa, il piano polare 77 di Py è Pag; se 779 sega az in Pz 
il piano polare 773 di P3 e Paa3, se 773 sega a; in P; il piano polare 77, di P, è P3ag, 
se 7r, sega ay in Py il piano polare 7; di Py è P,ay, questo piano 773 sega a, in Py 
ed evidentemente Pi, Pj' generano due punteggiate proiettive, i due elementi uniti 
danno due pentagoni, i cui vertici sono situati sulle a,, e duo pentaedri corrispon- 
denti, i cui piani passano per le stesse ap. 
Rimane così stabilito che un dato complesso lineare può essere costruito in 24 modi 
con un pentagono i cui vertici stiano sopra cinque dati suoi raggi e con un pen- 
taedro corrispondente i cui piani passino per gli stessi raggi. Posto ciò prendiamo 
ad arbitrio cinque rette a, ed un punto Pj di aj, poi per P conduciamo la retta che 
si appoggia ad a», az in Dj3, P3, per Pz conduciamo la retta che si appoggia ad a,, @s 
in D3;, Ps, per Pz conduciamo la retta che si appoggia ad a1, aa in Dis, Pa, per Pa 
conduciamo la retta che si appoggia ad 43, a, in Da, Pi, e finalmente per P, con- 
duciamo la retta che si appoggia ad as, a, in Dyj, Py. I punti P,, Py generano 
due punteggiate proiettive, i due elementi uniti dànno due pentagoni, i cui vertici 
sono situati sulle aj, e due pentaedri corrispondenti, i cui piani passano per le 
stesse an. Di queste coppie di pentagoni e pentaedri corrispondenti se ne trovano 24, 
ciascuna costruisce un sistema nullo che individua un complesso lineare contenente 
le cinque rette date; ma viceversa un complesso lineare contenente le cinque Due si 
può sempre costruire come si è detto in 24 modi diversi, dunque: 
