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Per cinque rette date passa in generale un complesso lineare 
ed uno solo. 
Per quattro rette date passano in generale due complessi li- 
neari speciali e due soli, 
quelli che hanno per assi Îe due rette che si appoggiano alle quattro date. 
II. Intersezione di due, tre, quattro complessi lineari. 
6. Due complessi lineari 03, C3" hanno 00° raggi comuni che generano una con- 
gruenza lineare Ca. Per un punto qualunque P passa in generale un raggio di C, ed 
uno solo, quello determinato dai piani 77, 77 polari di P; in un piano qualunque 7 giace 
in generale un raggio di C, ed uno solo, quello determinato dai poli P, P’ di 77. Se 
due raggi 71, 7a di C» hanno un punto comune P i suoi piani polari rispetto a C3, 
C3° coincidono col piano 7 di r1, ra, e quindi tutti i raggi del fascio determinato 
da 71, s appartengono a C,; allora P_è un punto singolare e un piano singo- 
lare di Cs. Le coppie dei piani polari dei punti di una retta »} comune a due complessi 
C3, 03", presi rispetto ad essi, passano per r, e generano due fasci proiettivi, quindi 
in generale r, appartiene a due punti singolari Pj, Ps ed a due piani singolari 774, 7a. 
Se 771, 70, incontrano in Py, Py un’altra retta qualunque di C,, per Py' passano i 
raggi ra, Pa Pil di Ca, e per Py passano i raggi ra, PiPy pure di C3, dunque Py', Py 
sono i due punti singolari di v» e Pr», Pars sono i due piani singolari 773, 7) di ra. 
Prendiamo una retta v che incontri in Dj, Ds le due rette P,P;/, PaPy, che chiame- 
remo di, dg. Per Dj passano i raggi P,Dj, Pa Dj di C,, per Da passano i raggi P1D,, 
PD pure di C,, dunque Dj, Da sono punti singolari di C, ed ogni retta r che 
si appoggia a di, da è uno dei suoi raggi. Le rette di C+ sono solamente quelle che 
si appoggiano a di, da; infatti se una retta ry di C, non si appoggiasse a di, da 
incontrerebbe 771, 773 in due punti singolari Dy, Dj e si dimostrerebbe allora che 
apparterrebbero a C, anche tutti i raggi che si appoggiano alle rette d;', dy' deter- 
minate dai punti P1Dy', PaDy, quindi ad un punto ed a un piano qualunque appar- 
terrebbero almeno due rette di C,, ciò che è assurdo. 
Una congruenza lineare è sempre generata dai raggi chesiap- 
poggiano a due rette direttrici. 
Le direttrici della congruenza lineare comune a due complessi 
lineari sono reciproche rispetto ad essi. 
7. Tutte le rette di un complesso Cz che si appoggiano ad una retta data d 
sono quelle comuni a C3 ed al complesso speciale che ha per asse 4, dunque: 
Tutte le rette diuncomplesso lineare che si appoggiano ad una 
retta data generano una congruenza lineare, che ha perdirettrici 
la retta data e la sua reciproca rispetto al complesso. 
8. Essendo una C, determinata dalle due direttrici, si vede che: 
Le congruenze lineari sono 008. 
Affinchè una retta appartenga a due complessi lineari devono essere soddisfatte 
due condizioni, quindi: 
Fissare la posizione di un raggio di una congruenza lineare 
equivale a due condizioni. 
