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15. Tutte le rette di un complesso Cz che si appoggiano a tre rette date d,, 
ds, dz sono quelle comuni a C3 ed ai complessi speciali che hanno per assi di, da, 
dz, dunque: 
Vi sono due rette di un complesso lineare che si appoggiano a 
tre rette date. 
Una congruenza lineare e due complessi lineari, ovvero due congruenze lineari, 
ovvero una rigata ed un complesso lineare, hanno due raggi comuni; vi sono sem- 
pre due raggi di una rigata o di una congruenza lineare che si appoggiano ad una 
o a due rette date. i 
III. Complessi lineari in involuzione. 
16. Un punto qualunque P' determina un piano polare 7 rispetto ad un complesso 
lineare C3, il piano 7 determina un polo P rispetto ad un altro complesso lineare C'3, e 
rispetto a Cz il punto P determina un piano polare 7’, passante per P'. Ad ogni 
punto P' corrisponde così un piano 7' in un sistema nullo che individua un terzo 
complesso lineare C”3. Se P si muove sopra una retta di C'3 il piano 7° ruota in- 
torno ad una retta di 03, quindi ogni raggio di C'3 ha per reciproco rispetto a C3 
un raggio di C"3, e viceversa. I complessi C'8, C"3 si dicono reciproci rispetto a C3. 
Consideriamo due coppie 71, #15 a, ra di rette reciproche rispetto a C3. Tutti 
i raggi di C3 che si appoggiano ad rj, r» generano una rigata e si appoggiano pure 
ad 73, 19, quindi le quattro rette r1, 171, ra, r° appartengono ad un'altra rigata 
Ci. Se un complesso lineare C'3 contiene le rette 1,2, 771, e se si, s, sono due 
direttrici della rigata C,, tutti i raggi di C'3 che si appoggiano ad sj, sy generano 
la stessa rigata, dunque 7%, che è un raggio di C1, è anche un raggio di C'3. Questo 
risultato si può interpretare dicendo: 
Un complesso lineare è reciproco di se stesso rispetto ad un 
altro, se contiene due raggi reciproci rispetto ad esso. 
Supponiamo che C'3 sia reciproco di se stesso rispetto a Cz. Se r è un raggio 
qualunque di C3 ed 7’ la retta reciproca rispetto a C'3, un raggio s di C'3 che incontri 
r deve pure incontrare 7'; il raggio s' di C3 reciproco di s rispetto a Cz deve pure 
incontrare rv ed 7°. Ora tutte le rette di Cz che incontrano s generano la congruenza 
che ha per direttrici s, s", dunque anche r' è un raggio di C3. 
Dati due complessi lineari, se il primo èreciproco di se stesso 
rispetto al secondo, viceversa il secondo è reciproco di se stesso 
rispetto al primo. 
Diremo che due complessi lineari sono in involuzione quando ciascuno è re- 
ciproco di se stesso rispetto all’altro. 
Affinchè due complessi lineari siano in involuzione deve es- 
sere soddisfatta una sola condizione, 
basta che uno dei due complessi lineari contenga la retta reciproca di uno dei suoi 
raggi rispetto all’altro complesso lineare. 
17. Abbiamo già detto che se un complesso lineare è speciale rispetto ad esso 
una retta qualunque è reciproca dell’asse, dunque: 
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