Affinchè un complesso lineare sia in involuzione con uno spe- 
ciale è necessario e sufficiente che contenga il suo asse. 
Affinchè due complessi speciali siano in involuzione è neces- 
sario e sufficiente che i loro assi si incontrino. 
18. Un punto P di un raggio r comune a due complessi lineari C3, C'3 determina 
un piano polare 7, rispetto a Cz, che passa per r, e x' determina un polo P', ri- 
spetto a C'3, situato sopra 7; evidentemente P, P' generano due punteggiate proiet- 
tive. Se C3, C'3 sono in involuzione, cioè se C'3 è reciproco di se stesso rispetto & 
C3, preso il piano 7 polare di P rispetto a C'3, il polo di x rispetto a Cy deve 
essere P' (16), dunque a P, considerato come elemento di ambedue le punteggiate 
proiettive sovrapposte ad , corrisponde sempre P'. 
Dati due complessi lineari 
ininvoluzionele coppie dei poli 
di tutti i piani che appartengo- 
no ad un raggio comune descri- 
vono un’involuzione ('), i cui 
punti doppì sono punti singolari 
della congruenza comune ai due 
complessi. 
Dati due complessi lineari . 
in involuzione le coppie dei pia- 
ni polari di tutti i punti che 
appartengono. ad un raggio co- 
mune descrivono un’involuzio- 
ne (‘), icui piani doppî sono pia- 
nisingolaridellacongruenzaco- 
mune ai due complessi. 
IV. I sistemi lineari di complessi lineari. 
19. I complessi lineari C3 in involuzione con uno dato C'3 sono co 4. Per quat- 
tro rette ne passa uno, ed uno solo, quello che contiene una delle rette reciproche 
rispetto a C'3; e quindi anche le altre. 
I complessi lineari in involuzione con uno dato generano un 
sistema lineare cof. 
Nel sistema lineare S, vi sono co* complessi speciali, i loro assi sono le rette 
del complesso lineare in involuzione con tutti quelli del sistema (17). 
20. In generale i complessi lineari Cz in involuzione con due dati C'3, 03 
sono 003. Per tre rette ne passa uno, ed un solo, quello che contiene le due rette 
reciproche di una rispetto a C'3, C"3, e quindi quelle reciproche delle altre due. 
I complessi lineari in involuzione con due dati generano un 
sistema lineare co}. 
Nel sistema lineare S3 vi sono co ° complessi speciali, i loro assi sono le rette 
della congruenza lineare comune ai due complessi in involuzione con tutti quelli del 
sistema (17). Le direttrici della congruenza comune a C'3, C3 sono reciproche rispetto 
a questi due complessi, quindi gli c03 complessi lineari che passano per esse sono tutti 
in involuzione con C3, 0%. 
Un sistema lineare 03 è generato da tutti i complessi lineari 
che passano per due rette date, 
le quali costituiscono la base di $3.. 
(') Klein, Zur Theorie der Lieniencomplewe des ersten und zweiten Grades (M. Annalen. Bd. IT, 
1870). 
