DRIODIN— 
53. Un complesso speciale è in involuzione con se stesso, e viceversa, quindi 
tra le sue coordinate esiste sempre una delle relazioni quadratiche : 
(7) Hare zi 0 DI rid =03 
TS rs 
Ogni complesso speciale individua una retta, che è il suo asse, ed ogni retta 
individua un complesso speciale di cui essa è l’asse, esiste dunque una corrispon- 
denza univoca tra le rette dello spazio ed i rapporti di sei numeri 2, 0 2‘, legati 
da una relazione quadratica (7), diremo che le x, 0 2", sono le coordinate omogenze 
della retta corrispondente. 
Se due complessi speciali sono in involuzione i loro assi si incontrano, e vice- 
versa, dunque la condizione per l’incontro di due rette di coordinate 27, Yyn 02k1Yh 
è una delle (6). 
I complessi speciali in involuzione con uno dato C, di coordinate c, 0 c',, sono 
tutti quelli che hanno per assi i suoi raggi, dunque l’equazione di C in coordinate 
di rette è 
(8) Zip =0, lo Ir k=0 
YS 
rs 
Un complesso lineare, una congruenza lineare, una rigata, sono rispettivamente 
determinate da una, due, tre relazioni lineari (8), tra le coordinate di rette, e viceversa. 
XI, La forma di secondo grado generata dai complessi speciali. 
54. La relazione (7) dice che lo spazio rigato, generato da tutti i complessi 
speciali, è una forma di quattro dimensioni e di secondo grado, immersa nello spazio 
lineare di cinque dimensioni generato da tutti i complessi lineari. Ora una equazione 
(9) OT=S0X7V—!05 
TS 
generale di secondo grado nelle sei 4,, contiene 20 costanti, vedremo che si possono 
scegliere arbitrariamente invece di prendere ad arbitrio i 20 rapporti indipendenti 
delle d,,, e che si può sostituire la (9) alla (7); vedremo cioè che tutte le circostanze 
del sistema di coordinate sono individuate quando sia presa a piacere 1’ equazione 
(9) dello spazio rigato, rispetto al sistema A,, E, e quando siano date rispetto ad 
esso le coordinate e’, dell’elemento unità E' dell’‘altro sistema B,, E. 
55. Se tra le coordinate 2, di una retta esiste l'identità (9) la relazione (6) 
che lega le coordinate «,, y, di due complessi in involuzione, o di due rette che si 
incontrano, si può scrivere sotto una delle forme: 
(10) mino, sy ts 
Bo db AM 
La forma fondamentale di 4° specie in involuzione con un dato7complesso è la 
sua forma polare rispetto alla quadrica Q, = 0. 
Il sistema e' in involuzione con E' ha per equazione: 
— 0 
20 
>Era,=Z = %=0, 
h Bed h de 7 È È 
quindi: 
(11) n OI 
