XV. Complessi polari rispetto a sei complessi speciali 
i cui assi sono le rette di un tetraedro. 
67. Immaginiamo due tetraedri V, W contemporaneamente inscritti e circoscritti; 
siano V,, vp i vertici ed i piani opposti del primo, siano W,, wyx i vertici ed i piani 
opposti al secondo; i piani w,, v passino per i punti V,, Wy. I piani wy polari dei 
punti W, rispetto al tetraedro V passano rispettivamente per i suoi vertici V,, quindi 
formano un terzo tetraedro W' circoscritto a V; ma questo tetraedro è anche. in- 
scritto a V. Infatti i vertici W,, W,, W, di W stanno sul. piano w, che sega v,, 
v,, v; secondo le rette Vi W,, Vi W,, Va W,, quindi i loro piani polari w,, wx, w, 
rispetto a V, devono incontrarsi in un punto W", di v,;, che è il vertice di W' op- 
posti a wy. Troviamo in questo modo che ogni tetraedro W, contemporaneamente 
inscritto e circoscritto a V, ne determina un altro W', pure inscritto e circoscritto 
a V, i cui piani, ed i cui vertici, sono i piani polari, ed i poli, dei vertici, e dei piani 
di W rispetto a V. Viceversa colla stessa costruzione da W' si passa a W. 
68. Un complesso lineare C determina un tetraedro W inscritto e circoscritto 
a V (2), quello i cui piani w, sono i piani polari dei vertici V, e i cui vertici W, 
sono i poli dei piani v, rispetto a C. Il tetraedro W', pure inscritto e circoscritto 
a V, determinato da W, dà un secondo complesso lineare 7° rispetto al quale i ver- 
tici V, hanno per polari i piani wy, ed i piani vy hanno per poli i punti Wy. Dimo- 
striamo adesso che i complessi C, Z° sono polari rispetto ai sei complessi speciali Ax;, 
i cui assi sono le rette vp;. 
I due complessi speciali A;,, A; determinano un fascio i cui complessi sono 
pure tutti speciali, ed hanno per assi i raggi del fascio determinato da v;,, vi, per 
vedere quale è il complesso di questo fascio segato nel sistema lineare determinato da C, 
Ans Anks Ant An basta vedere quale è il complesso del fascio che insieme a questi 
cinque è in involuzione con uno stesso complesso. Essendo W, il polo di v; rispetto 
a C è certo che C contiene la retta V, W,, quindi il complesso speciale che ha per 
asse questa retta è in involuzione con C, ma è anche in involuzione con i com- 
plessi An;, Anz: Anny Ax, perchè i loro assi incontrano la retta V, W,, dunque il 
prendendo sopra una retta una lunghezza unità e prendendo come coordinate i volumi dei tetraedri 
determinati da esso e dagli spigoli di un tetraedro fondamentale. Nella stessa Memoria Zeuthen è 
giunto anche al sistema (21), più generale, prendendo come coordinate di una retta i suoi momenti 
rispetto ai sei spigoli di un tetraedro, ovvero decomponendo uva forza unità, che agisca secondo una 
retta data, in sei forze che agiscano secondo le rette del tetraedro, ciò che è possibile in un solo 
modo, e prendendo queste forze come coordinate. Se 7,j,% sono i momenti delle tre coppie di spi- 
È 7 
goli opposti del tetraedro i coefficienti di 0g =0 sono Si e: } - nel primo caso e i;j,% nel 
secondo. Il sistema (20) di coordinate è stato introdotto da Kiein (Veber die Transformation der all- 
gemeinen Gleichung des zweilen Grades zwischen Linien- Coordinalen aufeine canonische Form. Inau- 
guraldissertalion. Bonn, 1868. M. Annalen. Bd. XXIII, 1884. — Zur Theorie der Lieniencomplewe des 
ersten und zweiten Grades. M. Annalen. Bd. IT, 1870. Die allyemeine lineare Transformation der Linienco- 
ordinaten. M. Annalen, Bd. II. 1870), il quale ba pure considerato come coordinate di una retta sei 
funzioni lineari delle coordinate di Plicker legate da una relazione generale di 2° grado, ed ha con- 
siderato le coordinate di un complesso lineare rispetto a sei complessi fondamentali, dando però a 
queste coordinate un significato geometrico completameute diverso da quello da noi esposto. ; 
