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complesso del fascio A;;, A;, che cerchiamo è quello il cui asse V; M,; incontra V, W; 
nel punto M,; che ha comune con vy,. Se V; M',, è coniugata armonica di V; M,; ri- 
spetto a v;x, v, il complesso speciale che ha per asse V; M',; è armonico di quello 
che ha per asse V; My}; rispetto ad A;,, A;, quindi deve essere in involuzione col 
complesso T° polare di C, ossia T deve contenere la retta V; M';. Analogamente 
se i punti comuni alle rette V, W,,;; Vi W,, 0 sono My;, My, e se le rette 
Vi Mn, Vi Mn sono armoniche delle V, M,,, Vi My rispetto alle vx, Uk; Vi Vik, 
deduciamo che T° deve contenere V, M°x, V, Mx, dunque il punto comune è ;l 
polo di v, rispetto a T. Ora questo punto comune è il polo del piano wy rispetto al 
tetraedro V, cioè il punto W', resta così dimostrato che il complesso T polare di C è 
dato dal tetraedro W'. 
69. Se C è polare di se stesso devono coincidere i tetraedri W, W', cioè W 
deve essere inscritto e circoscritto a V ed ogni piano wp, deve essere polare del ver- 
tice opposto W, rispetto a V. Viceversa ciascuno di questi tetraedri W dà un com- 
plesso C polare di se stesso. 
Per costruire uno di questi complessi basta prendere un vertice W, ad arbitrio 
sul piano v;, poi costruire il piano vw, polare di Wy, rispetto a V, sulle rette w, v,, 
Wy x, Wy v, devono stare i tre altri vertici W;, W,, W,. Preso ad arbitrio uno 
W, gli altri due si trovano come intersezioni delle rette w, v,, wp v; col piano w, 
polare di W, rispetto a V; resta così costruito W, e si vede nuovamente che i complessi 
polari di se stessi sono 008. 
70. Proiettiamo un punto qualunque P da ogni retta v,, sull’opposta vp; e 
chiamiamo @,; la proiezione, Q; il punto coniugato armonico di Qy; rispetto ad Ax, 
A;; abbiamo così sei punti Q,; e sei punti Q";, i quali ultimi stanno sul piano 7 
polare di P rispetto a V. Questa figura gode di molte proprietà note, tra le quali 
le seguenti. I tre punti Qu, Qu; Qi di è, dànno tre rette Vi Qui Vi Qui VrQa 
che passano per il punto P, proiezione di P_ fatta da V,;i tre punti Qu, Qui Qi 
pure di v,, stanno sopra una stessa retta r,, traccia di 7, polare di P, rispetto al 
triangolo V; V,y V,. Tre rette come V; Qu, Vi Qui, Vr Qu passano per uno stesso 
punto P,,; i quattro punti P,, Pn; Pin, Pas di vp, sono vertici di un quadrangolo 
il cui triangolo diagonale è V; V, V,, e precisamente due punti come P,, P,, 0 
come P,,, Py sono in linea retta con V;. Le rette rn, Qu Quo Qu Qu, Qu Qi for 
mano un quadrilatero che pure ha V, V,y V, come triangolo diagonale, ogni vertice 
del quadrangolo ha per polare rispetto al triangolo diagonale un lato del quadrila- 
tero, ecc. ecc. 
Il piano 7, polare di P, rispetto a V è quello determinato da V,, r,, cioè quello 
delle rette V, Qu, Va Qu, Va Qi, quindi 7, contiene i punti P,;, Pu; Pu, Pix; 
P;,, Pa Il piano 7, polare di P,, rispetto a V è quello che contiene le tre rette 
Vi Qi, Va Qi Va Var, quindi contiene i punti Py,, Pi; Pa, Pi; Pai Pu- 
Scelto un punto P, prendiamo i punti P,,, Py, Pix 0 Pix, Pri, Pu, abbiamo così 
due tetraedri e vediamo subito che il piano polare di un vertice di uno qualunque 
contiene gli altri tre vertici, dunque si tratta di due tetraedri W, inscritti e cir- 
coscritti a V, che dànno due complessi polari di se stessi. Di questi tetraedri se ne 
trovano 8, formati con i 16 punti P,, P,,, ciascun punto essendo vertice di due, e 
