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stessa, mediante una retta che egli chiama retta ausiliare relativa ad un punto 
della generatrice data. Ciò posto, egli considera in un sistema di. raggi tutti gli 
elementi di superficie rigata compresi fra un raggio qualunque e ognuno di quelli 
infinitamente vicini (superficie elementari del pennello); ed applicando a queste su- 
perficie elementari la rappresentazione mediante la retta ausiliare, ottiene con metodo 
geometrico uniforme tutti i teoremi di Malus, Hamilton, Kummer, Sturm, ecc., oltre 
a nuove proprietà. Passa quindi a supporre che il pennello di raggi sia formato di 
normali ad una superficie: è da questo caso che la teoria della curvatura discende 
naturalmente. Tutti i classici teoremi di Monge, Euler, Meunier, Dupin, ecc., sono 
così riprodotti mediante elegantissime dimostrazioni e indipendentemente da ogni 
processo analitico. 
< Frattanto era stato posto il problema della determinazione degli elementi di 
curvatura delle superficie caustiche per rifrazione, e importanti contribuzioni anali- 
tiche alla sua soluzione erano state date da Bertrand, e in particolare da Sturm, 
prima nella sua Memoria sull’Ottica e poi nell’altra interessantissima sulla Visione. 
E di questo problema che il sig. Mannheim offre pel primo una soluzione geometrica 
completa nella Memoria presentata alla nostra Accademia. Le notizie precedenti ce 
ne agevoleranno la relazione. 
« L'autore comincia col migliorare la rappresentazione geometrica della legge di 
variazione dei piani tangenti ad una superficie rigata nei punti di una generatrice. 
La retta ausiliare di cui egli faceva uso nella prima Memoria, dipendeva dalla scelta 
di un punto della generatrice: dimodochè per una data generatrice si avevano infi- 
nite rette ausiliari, le quali però passavano tutte per uno stesso punto. Ora l’autore, 
abbandonando le rette ausiliari, adotta questo punto che egli chiama punto rappre- 
sentativo. È noto che, data una generatrice » d’una superficie gobba, la distanza di 
un suo punto qualunque dal punto centrale. è in rapporto costante colla tangente 
trigonometrica dell’angolo che il piano tangente in quel punto fa col piano centrale: 
ciò posto, il punto rappresentativo è situato sopra una perpendicolare ad r elevata dal 
punto centrale ed è distante da questo di una quantità eguale a quel rapporto co- 
stante. Il punto rappresentativo permette di costruire immediatamente per ogni punto 
di » il suo piano tangente. i 1 
« Siccome la sostituzione del punto rappresentativo alle rette ausiliari abbre- 
via di molto le considerazioni, il sig. Mannheim riproduce la sua teoria geometrica 
della curvatura delle superficie introducendovi notevoli semplificazioni: e questa è 
una parte molto interessante della Memoria. La relazione di Euler, le proprietà del- 
l’indicatrice di Dupin, infine tutti i teoremi più importanti della teoria, sono dedotti 
con grande eleganza. 
« L'autore riprende poi lo studio dei pennelli di raggi. Si consideri il pennello 
formato da tutti i raggi di un sistema vicinissimi ad un raggio r. Ogni superficie 
elementare del pennello possiede il suo punto rappresentativo sopra un piano qua- 
lunque condotto per r; il luogo di questi punti è una circonferenza, la quale, nel 
caso che il pennello sia formato di normali, ha per diametro il segmento compreso 
tra i fuochi di r. Sulla circonferenza esiste un certo punto la cui posizione di- 
pende dall’orientamento del pennello rispetto al piano scelto. Quando .sono dati quella 
