Mémoire d’'optique géométrique 
contenant la théorie du point représentatif d'un élément de surface 
réglée et son emploi, tant pour la démonstration nouvelle de théo- 
rémes relatifs à la courbure des surfaces que pour la détermina- 
tion plane des éléments des surfaces caustiques, 
par M. A. MANNHEIM 
Ce Mémoire renferme la solution géométrique complète, donnée pour la première 
fois et dans le cas le plus général, du problème de la détermination des éléments 
des surfaces caustiques. 
Quelques mots d’historique vont me permettre de préciser l’état de la question: 
« de Tschirnhausen ouvrit la voie è de nouvelles spéculations géométriques en con- 
« sidérant la courbe enveloppe d’une série de rayons lumineux réfiéchis par une ligne 
« dirimante et correspondant à des rayons incidents parallèles (Acta Lipsie nov. 1682). 
< Ces nouvelles courbes regurent le nom de caustiques par réflexion et furent étu- 
« diées par de la Hire, Leibnitz (Acta L. janvier 1689) et Jean Bernoulli (jan- 
« vier 1692). Enfin Jean Bernoulli, considérant les caustiques par réfraction, donna 
«la construction géométrique du point où chaque rayon réfracté touche son enveloppe 
« (jan. 1693) et le marquis de l’Hòpital (Analy. des infi. petits, propos. I, section 6 
« et 7) substitua è ces constructions deux formules qui ont été reproduites par Petit 
« et ont conservé son nom (Corresp. sur l’Ecole polytechn. tome II pag. 354 ('). 
M. A. Cornu a donné une construction élégante du point où un rayon réfracté 
touche son enveloppe, en faisant usage d’un point qu'il appelle centre de jonction (°). 
Ainsi pour le cas du plan, on a formules et constructions. 
Ce n’est qu'au commencement de ce siècle (1808) que la question de l’espace 
fut abordée par Malus dans son Optique (*). Cet illustre physicien démontra que 
«toutes les fois que l’on considère un système de lignes droites émanant de tous 
« les points d’une surface courbe suivant une loi analytique quelconque, le lieu des 
< points de rencontre des lignes proposées est compris sur deux surfaces courbes ». 
Lorsque ces droites sont des rayons lumineux réfractés, Malus donne è ces surfaces 
le nom de surfaces caustiques. Il a aussi découvert un théorème, généralisé ainsi 
(') Paul Serret, Des méthodes en geométrie pag. 72. 
(î) Nouvelles Annales de mathém. 2 série tome II pag. 311. 
(*) Journal de l’Ecole polyt. 14° cahier. 
