par Dupin: Des rayons lumineux normaux à une surface seréfléchis- 
sent ouseréfractentsuivantdesdirectionsnormalesà une surface. 
On sait qu'on appelle foyers les deux points où un rayon lumineux réfracté 
touche les surfaces caustiques: ces points ne sont pas toujours réels. Les plans tan- 
gents des surfaces caustiques aux deux foyers sont les plans focaua. 
Dans sa Theory of systems of rays, Hamilton ale premier étudié d’une fagon 
générale les pinceaux quelconques de rayons lumineux, il a fait connaitre des points 
et des plans relatifs è ces pinceaux et qui sont toujours réels. 
M. Kummer dans un beau Mémoire de géométrie analytique, intitulé: 7héorie 
générale des systèmes de rayons rectilignes a approfondi la théorie d’Hamilton et l'a 
complétée en quelques points. 
Enfin, relativement aux pinceaux quelconques, je rappellerai que j’en ai donné 
une Yhéorie géométrique. Pour établir cette théorie, j'ai considéré l’élément de sur- 
face réglée, que j’appelle surface élémentaire du pinceau constituée par le rayon du 
pinceau et un rayon qui lui est infiniment voisin. Autour d'un rayon, il y a une infi- 
nité de surfaces élémentaires. 
Les points trouvés par Hamilton, et qui sont toujours réels sur le rayon d’un 
pinceau, sont les deux extrèmités du segment sur lequel sont situés les points cen- 
traux de toutes les surfaces élémentaires du pinceau. En ces deux points appelés 
points-limites, les plans centraux correspondants des surfaces élémentaires sont ap- 
pelés plans principaua. Ces plans principaux sont rectangulaires. 
Dans le cas particulier où les rayons lumineux forment un pinceau de normales 
à une surface, les surfaces élémentaires de ce pinceau sont des éléments de normalies 
à cette surface, les points-limites se confondent avec les foyers du rayon du pinceau 
et sont aussi les centres de courbure principaux de cette surface; enfin celle-ci a pour 
plans de ses sections principales, les plans principaux du pinceau qui sont confondus 
ici avec les plans focaux. 
Restant dans le cas particulier où les rayons lumineux sortent normalement 
d’une surface, Sturm dans son Mémoiîre sur l’optique (') a étudié analytiquement 
les éléments de courbure des surfaces auxquelles ces rayons sont normaux après 
leur réfraction et a trouvé des formules intéressantes. 
Dans son Mémoire sur la Théorie générale des surfaces (*) revenant sur le 
mème sujet, toujours dans le cas des rayons luùmineux normaux è une surface, 
M. Bertrand par des considérations de géométrie infinitésimale a retrouvé les for- 
mules dues è Sturm et en a ajouté une nouvelle. Ces formules permettent de cal- 
culer les éléments des surfaces caustiques. 
Enfin en 1845 Sturm a traité de nouveau analytiquement le mème problème 
à la fin de son Mémoîre sur la vision (*). Ainsi pour le seul cas particulier de l’es- 
pace qui eut été traité, on avait trouvé des formules, mais pas de construction 
(') Journal de mathém. pures et appliquges première série t. III, 
(@) Journ. de mathém. pures et appliquées première série t. IX. 
(*) Comptes. r. de l’Acad. de sciences premièr semestre 1845. 
M. Ribaucour s’est aussi occupé du mème cas particulier mais on ne connait de son travail 
que l’annonce qu'il en a faite en 1873 dans sa notice sur ses travaux mathématiques. 
CLASSE DI SCIENZE FISICHE ecc. — MeMoRIE — Von. I°, 66 
