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effective. Tel était, à ma connaissance, l’état de la question lorsque j'ai commencé è 
l’étudier ('). 
La solution géométrique que j’apporte aujourd’hui est complète et aboutit è 
plusieurs constructions planes des éléments des surfaces caustiques, et cela, je le 
répète, dans le cas le plus général. 
Les solutions de nombreuses questions ne sont vraiment achevées que lorsque 
l'on fait connaître les constructions qu’elles exigent; elles ne peuvent attendre cet 
achèvement que de la géométrie. La question d’optique résolue dans ce travail en 
est un exemple. 
Du point répresentatif d’un élement de surface réglée. 
Dans mon Mémoiîre sur les pinceaux de droites (*) j°ai montré comment, au 
moyen d’une droite auxiliaire on peut représenter la loi de variation des plans tan- 
gents è une surface réglée pour les différents points d’une génératrice de cette sur- 
face. Cette droite auxiliaire est relative è un point pris comme origine sur cette 
génératrice et change en mème temps que ce point; mais toutes les droites 
auxiliaires relatives aux différents points d'une génératrice pas- 
sent par un méme point. 
Ces droites auxiliaires sont respectivement perpendiculaires aux droites qui joi- 
gnent ce point aux différents points. pris comme origine sur la génératrice. 
Une génératrice d’une surface réglée étant donnée il suffit donc de lui adjoindre 
ce seul point pour pouvoir déterminer les plans tangents à la surface 
Fig. 1. réglée.-Le point qu'il faut ainsi adjoindre àè une génératrice, je l’appelle 
|s_ point représentatif de l’élément de la surface réglée le long de cette 
| droite. 
Avant d’en faire usage je vais montrer comment on y arrive directe- 
J, ment ce qui dispensera de recourir è des Mémoires antérieurs. 
$ Soient (G) une surface gauche et G (fig. 1.) une de ses généra- 
| trices que, pour l’explication je suppose placée verticalement. Menons 
un plan par G et fesons le tourner autour de cette droite de facon 
que sa trace sur un plan horizontal de projection tourne dans le sens 
e Cirect de rotation d’une droite sur un plan. Ce plan touche (G) successi. 
vement en des points qui, je suppose, s’éloignent du plan horizontal 
cest-à-dire vont en s’élevant sur G. 
Appelons c le point central de (G) sur G, % le paramètre de distribution des 
plans tangents è (G) pour G, a un point distant de c de la longueur / et 9 l’angle que 
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le plan tangent en a fait avec le plan central, on a: tang. ma 
Sur un plan quelconque mené par G, et que nous prenons pour plan de la figure, 
(') Je n'ai pas parlé des travaux de Gergonne, Quetelet, Sarrus, de la Rive, Timmermans etc. 
qui ne se rattachent pas directement au problème que j’avais en vue. Un travail sur les courbes et 
surfaces caustiques, analogue è la belle dissertation du docteur 0. Béklen sur la surface de l’onde 
(Reutlingen 1881) serait utile aussi bien aux physiciens qu'aux géomètres. 
(*) Journal de mathém. pures et appliquées 2° série t. XVII, 1872. 
