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aux normalies pour amener ce plan è coincider avec le plan fixe de la figure. Menons 
la droite yy} v qui fait avec y1 ya cet angle ©. Une normalie, qui touche le plan de la 
figure au point arbitraire a, a pour point représentatif le point de rencontre y de va 
avec C, car il résulte bien de cette construction que l’angle ysya est égal è @. Le 
point v, qui est fixe sur C, permet done d’avoir immédiatement le point représentatif 
de l’élément de normalie qui touche le plan de la figure en un point donné de N. 
Il suffit donc de la circonférence C, dont le centre est sur N, 
et du point v marqué sur C po ur représentor de forme et de posi- 
tion le pinceau de normales (‘). 
Reprenons l’élément de normalie représenté par y; menons la droite qui joint 
le point o de N au point y: elle coupe en s la circonférence C. 
Joignons le point s àu point t, situé è la rencontre de C et de la perpendicu- 
laire abaissée de v sur N. L’angle vis est égal è l’angle ayo par conséquent il est 
égal è l’angle que le plan tangent en o à la normalie fait avec le plan de la figure. 
Le point t, comme le point v, est fixe sur C et peut ètre employé pour tous les 
éléments de normalies du pinceau de normales. 
Remarquons que les droites qui partent du point £, telles que ts et relatives 
aux différents éléments de normalies du pinceau forment une figure qui est égale è 
la figure formée sur un plan mené en o perpendiculairement è N par les traces des 
plans tangents en o è tous ces éléments de normalies. 
Il y à encore un point fixe de C dont nous ferons usage, c’est le point v de 
cette circonférence qui est diamétralement opposée è v. La droite qui joint ce point w 
au point représentatif y d’un élément de normalie coupe N au point d où cet élé- 
ment est normal au plan de la figure: car l’angle dya est droit. 
Tout ce que je viens d’expliquer pour un pinceau de normales s’étend è, un 
pinceau quelconque en vertu des propriétés de ce pinceau (°). Un pareil pinceau est tou- 
jours représenté par une circonférence sur laquelle on marque un point fixe. Ce point 
dépend de l’orientation du pinceau par rapport è un plan fixe mené par le rayon 
du pinceau. Pour fixer cette orientation on se donne l’angle dont il faut faire tourner 
l’un des plans principaux du pinceau pour amener ce plan è coincider avec le plan fixe. 
Première construction plane des éléements 
des surfaces caustiques. 
Cette construction est obtenue en appliquant la méthode générale dont j'ai déjà 
fait usage pour déterminer les éléments de courbure de la surface de l’onde (°). Cette 
méthode consiste, pour l’étude des transformations des pinceaux, è rechercher la cor- 
respondance qui existe entre leurs représentations planes (°). 
(') J'ai déjà donné ce mode de représentation dans une communication faite à l’Académie des 
sciences le 9 juin 1879. 
(*@) Voir mon Mémoire sur les pinceaux de droites. 
(°) Voir Comptes rend. séances des 2, 9 et 16 jun. 1879, ainsi que le volume publié en Italie 
par MM. Cremona et Beltrami en mémoire de Chelini sous le titre Collectanea Mathematica. 
(‘) Elle s'étend naturellement è toutes les transformations des figures de l’espace dont on con- 
naitrait la représentation plane. 
