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C'est cette construction que nous employons pour déterminer le point y: 
Du point 0, on mène une parallèle à p" h'" et une perpendicu- 
laire è cette droite. Ces deux droites rencontrent respectivement 
les perpendiculaires à R élevées des points a” et bd": la projection 
du point o sur la droite qui joint ces deux points donne le point y”. 
En partant du point représentatif y° d’une surface élémentaire du pinceau |L] 
nous sommes arrivés au point représentatif y" de la surface élémentaire correspon- 
dante du pinceau [R}. Une autre surface élémentaire de (I) dont le point représen- 
tatif est 71 (') donnera de la mème manière le point représentatif y”, de la surface 
élémentaire qui lui correspond dans le pinceau [R}. La connaissance des deux points 
yet y", suffit pour déterminer la circonférence C” et le point 0" qui représentent 
le pinceau réfracté [R]. Voici comment: on mène la droit a” y"” et la droite analogue 
a", y",: ces deux droites se coupent au point v”. On mène la droite d y" et la droite 
analogue 2, y3: ces deux droites se coupent au point w”. | 
La circonférence décrite sur vv" comme diamètre est la cir- 
conférence 0" relative au pinceau [R] et le point v” de cette courbe 
permet d’avoir l’orientation du pinceau. 
La connaissance de cette circonférence C" entraine la connaissance des éléments 
du pinceau [R|. Ainsi, les points de rencontre de C" et de R sont les foyers sur ce 
rayon et l’angle, sous lequel on voit d’un point de C'” le segment compris entre ces 
deux foyers, est égal è l’angle compris entre les plans focaux. Ces foyers et cet angle 
sont les éléments des surfaces caustiques relatives è R. Nous avons done résolu le 
problème d’optique énoncé précédemment. 
La solution que nous venons d’exposer est absolument générale puisque nous 
n’avons fait aucune hypothèse relativement au pinceau [1] en le représentant par une 
circonférence de cercle. Nous verrons plus loin que la construction plane précédente 
permet de trouver que, lorsque le centre de cette circonférence est sur I, c’est-à-dire 
lorsque (I) est un pinceau de normales, il en est de mème du pinceau |R] parce 
qu’alors le centre de la circonférence C" est sur le rayon R. Nous retrouverons ainsi 
le théorème de Malus et de Dupin sur lequel nous n’avons pas eu besoin de nous 
appuyer. 
Remarques (*). Lorsque le rayon lumineux I varie de position il en est de mème 
de R et par suite du plan (I, R, N). Ce plan pour un déplacement de I a pour carae- 
téristique une droite telle que a a' a". Mais lorsqu’on déplace I de toutes les ma- 
nières possibles autour de la première position de ce rayon, le plan (I, R, N) reste 
tangent è une surface, et chacun des déplacements de ce plan donne lieu è une carac- 
téristique qui passe par le point de contact de ce plan avec cette surface. Donc: 
Toutes les droites telles que a aa” passent par un méme point. 
Prenons quatre surfaces élémentaires du pinceau [I] chacune d’elles touche le 
plan de la figure en un point tel que a'. Joignons ces quatre points au point v'. Ces 
(') Pour ne pas compliquer la figure nous n'avons pas indiqué les points y,, y",, 0% ", ni 
la circonférence O”. 
(#) Ces remarques ne sont pas utiles pour la suite. 
