omi=0N, et comme omy= on, on voit par la construction de om", et de on”, 
que ces deux segments sont égaux. Par suite [R] est un pinceau de normales puisque 
R doit contenir le centre de C". 
Le théorème de Malus et de Dupin se trouve ainsi démontré. 
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3° Dans la relation (1) remplagons cos?i par tanano] et cos?r par Manesa ; 
tango tang? g 
elle devient 
È COSIMO 1 3) RIA COSIMO 1 ) 1 (12) 
obtang*g ob'tang*9'/ sinéi  \obtang®o ob'tang?o” / sinr 
ajoutant membre à membre les relations (1) et (2), on a 
LE Te 
sin è obtang*o 0a ob'tang*9' © ca' 
| 
1 1 1 1 
sinr ( ob tang*% +) tà) 
Appelons toujours / (fig. 6) le point de rencontre de N avec la perpendiculaire 
élevée du point y è yo et 7, ” les points analogues sur I et R. Nous avons vu 
dans la théorie de la courbure des surfaces que 
1 costo. sin? .,. Il 1 1 
== DL —* doo —_ = ——_;-_ + 
ol ob 0a olsin?g —obtang*@p —04 
de méme 1 1 1 
le —__ = ea == 
ol'singg —ob'tang*g' © 00° 
1 1 1 
ol'sing” ob'tang*g' | 0cd' 
La relation précédente peut alors s’écrire: 
Il cosà 1 Il COS 7° 1 A 
sin a fggiol co sin (Gr  ollsin2g” ) È) 
Fis. le. Interprétons géométriquement cette relation. i 
Sur ol" comme diamètre (fig. 14) décrivons une circonfé- 
Ara x rence de cercle. Prolongeons y' a' jusqu'àè sa rencontre avec 
wi \ cette courbe et projetons le point ainsi obtenu en j sur I. 
o TE c On voit facilement sur la figure que oj" = ol' sin° g'. 
AS de Appelons j et j/ les points, qui sur N et R, sont analo- 
a CRI Dai gues è J. La relation (3) peut alors s’éerire: 
af e 1 COSÌ INT cosr Il 
td Poi \ 7 ( gu gt ( 0j 5) 
4 ci 1 i qui est tout è fait analogue è la relation (2) et qui montre que 
eos FAI les points j,j",j'" sont en ligne droîte. 
A Lorsqu’au lieu de prendre une surface élémentaire (I) quel- 
conque, on choisit celle qui est normale en o au plan de la 
ù (0) 
figure et dont le point représentatif est y, è la rencontre de C' avec « 0, alors le 
point 7" devient le point central relatif è cette surface. 
