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La propriété générale que nous venons de démontrer conduit alors è ce théorème: 
Les surfaces élémentaires correspondantes, normales en 0 au 
plan de la figure, ont leurs points centraux en ligne droite. 
4° Hamilton a donné, pour un pinceau quelconque, une relation que j’ai démontrée 
géométriquement dans mon Mémoire sur les pinceaux de droites, et qui est tout è 
fait analogue è la relation d'Euler démontrée précédemment. 
On pourrait alors établir l’indicatrice d’un pinceau quelconque, indicatrice qui, 
dans le cas d’un pinceau de normales se confond avec l’indicatrice de Dupin. L’em- 
ploi de cette indicatrice d’un pinceau quelconque permet d’interpréter d’une autre 
manière la relation (3). Je donnerai cette interprétation plus loin et lorsque |I] est 
un pinceau de normales. 
Deuxièéme modification de la première construction générale. 
La première construction générale est basée sur la détermination du point re- 
présentatif y" de la surface élémentaire (R). 
Voici une nouvelle construction de ce point, qui résulte de l’emploi de la liaison 
séométrique qui existe entre les points m, mm, m" cu entre les points n, n, n°. 
La connaissance du point représentatif y' entraîne, comme nous l’avons vu, celle 
du point y. La droite vy coupe N en a et rencontre la perpendiculaire è N, issue 
de 0, au point m. On obtient de mème a’ et m' au moyen de la droite v' y. D'autre 
part, au moyen des droites wy et w' y' on détermine les points n et n. 
Pour construire y” voici maintenant comment on opère: On prend le point de 
rencontre de R et de aa' qui est le point a”. Au moyen de m et m' on détermine 
m' et au moyen de n et n' on détermine n". Sur mn” comme diamètre on décrit 
une circonférence de cercle: cette courbe est coupée par la droite m'" a". au point y” 
cherché. Cela se voit au moyen d’une figure analogue è la figure 10. 
De la mème manière on construit un point représentatif y", et la première 
construction s’achève alors comme précédemment. 
Cas particulier 
où les rayons incidents sont normaux à une surface. 
Supposons que [I] soit un pinceau de normales è une surface donnée. Appe- 
lons (S:) la surface parallèle è cette surface et qui passe par le point o. Le pin- 
ceau [R| est.alors un pinceau de normales. Appelons (Sx) la surface passant par o 
et à laquelle les rayons réfractés sont normaux. 
Les éléments des pinceaux [I], {N] [R] sont maintenant les é1léments de courbure. 
des surfaces (S:) (S) et (Sa). 
Appelons toujours @ l’angle dont il faut faire tourner dans le sens direct le 
plan de la section principale de (S), qui contient le grand axe de l’indicatrice en o, 
pour amener ce plan è coincider avec le plan de la figure. 
Sur la fig. 5 cet angle west égal è l’angle ya ya. 
Appelons @' et o" les angles analogues pour les surfaces (Sr) et (Sx). Désignons 
par R, et R, les rayons de courbure principaux de (S) en o, par R', et R'9 les rayons 
