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par les plans menégs par N, I, R perpendiculairement au plan de la 
figure sont en ligne droite. 
° Démontrons directement ce théorème dù è Sturm. 
Le plan mené par N perpendiculairement au plan de la figure, détermine dans 
(S) une section dont le centre de courbure est le point où ce plan est normal à la 
normalie è (S) dont Ila directrice est perpendiculaire en o au plan de la figure. 
Ou encore, ce centre de courbure est le point où le plan de la figure est tangent 
ù cette normalie. 
De mème pour les points analogues relatifs aux normalies correspondantes. Mais 
les points de contact du plan de la figure avec les normalies correspordantes sont 
toujours en ligne droite comme nous l’avons vu précédemment, done le théorème 
est démontré. 
Appelons ot la trace commune sur (T) des plans tangents en o aux normalies 
correspondantes (N) (I) et (R). On a: 
- n —= sin (ot, I), 3a) 
la relation (3) peut alors s°écrire: 
1 cos i Sinal((07590)| ANNI: cos 7 sin? (ot, R) 
sio \Wor TT o )= np \ pt o! ) 
relation qui a été trouvée par Sturm. 
Interprétons géométriquement cette relation. Tragons sur le plan tangent (1) 
l’indicatrice (n) de (S) avec un paramètre u, tragons sur le plan mené en o perpen- 
diculairement è I l’indicatrice (?) de (S)) avec un paramètre p'; projetons oblique- 
ment cette courbe sur (T) au moyen de droites parallèles à I. Appelons (è) la co- 
nique ainsi obtenue. De mème pour (Sx) nous avons l’indicatrice (r) construite avec 
le paramètre " et qui est projetée obliquement sur (T) au moyen de droites pa- 
rallèles è R suivant la conique (r°). 
Sur ot, la conique (n) intercepte le diamètre d, la conique (è) intercepte le 
diamètre d' et la conique (r°) intercepte d". 
On a: 
= 2 sE. = sin (ot, R) 
no 
(925) 
IEEE eroi) 
la relation précédente peut alors s’écrire: 
da 71 TERE LI 1 
Sintoni\00/02MNN (00) ei sinTaA\ 70027 
 _ cosi, E — cosr 
pi 
pi 
AA I LR GIS 
tang è (3 OI, mor \d mi): 
De là ce théorème: 
La différence des inverses des carrés des diamètres interceptés 
par (n) et (#) sur une droite issue de o est dans un rapport constant 
Posons 
on a alors 
