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Le trasformazioni doppie dello spazio. 
Memoria del Socio RICCARDO DE PAOLIS 
letta nella seduta del 21 giugno 1885. 
Negli anni 1877, 1878 pubblicai tre memorie sulle trasformazioni piane doppie ('), 
nella prima (°) posi i fondamenti della teoria generale di queste trasformazioni, nelle 
altre (*) studiai la trasformazione piana doppia di 2° ordine ed una di 3° ordine, 
facendone due applicazioni sulle quali credo bene richiamare l’attenzione del lettore. 
È stabilita la trasformazione doppia di 2° ordine, tra due piani, quando alle rette 
di uno, piano doppio, si facciano corrispondere proiettivamente nell’altro, piano” 
semplice, le coniche che passano per due punti fissi, fondamentali, ed appar- 
tengono ad una rete. Allora ad un punto del piano doppio corrispondono due punti 
del piano semplice, ad un punto del piano semplice corrisponde un solo punto del 
piano doppio; nel piano doppio vi è una conica, limite, luogo dei punti a cia- 
scuno dei quali corrispondono nel piano semplice due punti coincidenti, che pure 
generano una conica, doppia; alle rette del piano semplice corrisponde nel piano 
doppio un sistema co * di coniche le quali passano per punto fisso ed hanno un doppio 
contatto con la conica limite. Considerando il piano semplice come un piano eucli- 
deo, i cui punti ciclici siano i due punti fondamentali della trasformazione, e con- 
siderando il piano doppio come un piano non euclideo, il cui assoluto sia 
la conica limite, ogni circolo euclideo del piano semplice si trasforma in un circolo 
non euclideo del piano doppio, ogni teorema di geometria euclidea si trasforma in 
uno di geometria non euclidea, e viceversa. 
La trasformazione piana doppia di 3° ordine, che ho studiato particolarmente, 
si stabilisce facendo corrispondere proiettivamente le rette di un piano doppio 
alle cubiche le quali in un piano semplice passano per sette punti fondamen- 
tali fissi. Allora nel piano doppio la curva limite, luogo dei punti a ciascuno 
dei quali corrispondono due punti coincidenti del piano semplice, è una curva ge- 
nerale del quarto ordine, la curva doppia corrispondente nel piano semplice è 
(') Una trasformazione doppia è una corrispondenza algebrica (1,2) fra gli elementi genera- 
tori di due spazî dello stesso numero di dimensioni. 
(*) Le trasformazioni piane doppie. (Atti della r. Accademia dei Lincei, Serie 3%, Vol. I, 1877). 
(°) Za trasformazione piana doppia di secondo ordine e la sua applicazione alla geometria non 
euclidea. (Atti della r. Accademia dei Lincei, Serie 8%, Vol. II, 1878). — La trasformazione piana 
doppia di terzo ordine primo genere e la sua applicazione alle curve di quarto ordine. (Atti della 
r. Accademia dei Lincei, Serie 3°, Vol. II, 1878). 
