— 5977 — 
la curva, di 6° ordine, jacobiana della rete delle cubiche corrispondenti alle rette 
del piano doppio. Questa trasformazione fornisce un metodo semplice ed elegante 
per trovare e dimostrare le principali proprietà delle tangenti doppie di una curva 
del quarto ordine, e che ha molta analogia cen quello adoperato da Aronhold ('). 
Le 28 tangenti doppie della curva limite, generale di quarto ordine, corrispondono 
ai sette punti fondamentali del piano semplice ed alle 21 rette che li congiungono 
due-a due; un fascio di rette del piano semplice, col centro in un punto fonda- 
mentale, dà nel piano doppio un sistema di coniche quadritangenti alla curva limite; 
prese ad arbitrio le equazioni delle sette tangenti doppie corrispondenti ai sette punti 
fondamentali del piano semplice, e trovate le formole della trasformazione doppia, 
sì possono scrivere separatamente le equazioni delle altre 21 tangenti doppie, le 
quali, come è noto, sono costruibili linearmente (*); ecc. ecc. 
Volendo continuare queste ricerche ed occuparmi delle trasformazioni doppie 
nello spazio, prima di affrontare il problema in tutta la sua generalità, comin- 
ciai a studiare due casi particolari, due trasformazioni doppie che hanno una certa 
analogia con quelle due piane delle quali ho qui sopra dato un cenno. Una di 
queste trasformazioni si stabilisce quando ai piani di uno spazio, doppio, facciamo 
corrispondere proiettivamente in un altro spazio, semplice, le superficie di se- 
condo ordine che passano per una conica fissa, fondamentale, ed appartengono ad un 
sistema lineare co 3. Allora ad un punto dello spazio doppio corrispondono due punti 
dello spazio semplice e ad un punto dello spazio semplice corrisponde un solo punto 
dello spazio doppio; nello spazio doppio vi è una superficie di secondo ordine, li - 
mite, luogo dei punti a ciascuno dei quali corrispondono nello spazio semplice 
due punti coincidenti, i quali pure generano una superficie di secondo ordine, doppia; 
ai piani dello spazio semplice corrispondono le superficie di secondo ordine, di un 
sistema 003, che passano per un punto fisso e toccano la superficie limite lungo una 
conica. Considerando lo spazio semplice come uno spazio euclideo, il cui circolo 
immaginario all’infinito sia la conica fondamentale della trasformazione, e conside- 
rando lo spazio doppio come uno spazio non euclideo, il cui assoluto sia 
la superficie limite di secondo ordine, ogni sfera euclidea dello spazio semplice si 
trasforma in una sfera non euclidea dello spazio doppio, ogni teorema di geome- 
tria euclidea si trasforma in uno di geometria non euclidea, e viceversa. 
L'altra trasformazione doppia dello spazio, che studiai dopo la precedente, si 
stabilisce facendo corrispondere proiettivamente i piani di uno spazio doppio alle 
superficie di secondo ordine che nello spazio semplice passano per 6 punti fonda- 
mentali fissi. Allora nello spazio doppio la superficie limite, luogo dei punti a 
ciascuno dei quali corrispondono due punti coincidenti dello spazio semplice, è una 
superficie generale di Kummer, la superficie corrispondente nello spazio semplice 
è la superficie, di quarto ordine, jacobiana del sistema lineare 003 delle superficie 
di secondo ordine corrispondenti ai piani dello spazio doppio. Questa trasformazione 
fornisce un metodo semplice ed elegante per trovare e dimostrare le principali 
(') Berliner Monatsberichte, 1864. 
(*) Aronhold, I. c. 
CLASSE DI SCIENZE FISICHE ece.— MemorIE — Von. I.° 
I 
(Se) 
