— 578 — 
proprietà della superficie di Kummer, e specialmente quelle che riguardano più da 
vicino i suoi punti e piani singolari. I 16 punti singolari corrispondono alla cubica 
gobba che passa per i 6 punti fondamentali dello spazio semplice ed alle 15 rette 
che li uniscono due a due; i 16 piani singolari corrispondono ai sei punti fonda- 
mentali dello spazio semplice ed alle 10 coppie di piani ciascuna delle quali li con- 
tiene tutti; le 6 stelle di raggi dello spazio semplice, che hanno i centri nei 6 
punti fondamentali, dànno nello spazio doppio le 6 congruenze di secondo grado che 
hanno la superficie di Kummer per superficie focale ('); ecc. ecc. 
Non volli pubblicare questi risultati prima di aver messo insieme la teoria 
generale delle trasformazioni doppie nello spazio; ma intanto videro la luce due 
memorie, una di Aschieri e l’altra di Reye, i quali, indipendentemente da me, erano 
giunti presso a poco alle stesse conclusioni. Aschieri (°) studia la trasformazione 
nella quale ai piani dello spazio doppio corrispondono nello spazio semplice super- 
ficie di secondo ordine che passano per una conica fissa, e ne fa l’applicazione alla 
geometria non euclidea; Reye (°) poi, partendo dal sistema 003 delle superficie di 
secondo ordine che passano per 6 punti fissi, arriva a trovare le più belle proprietà 
della superficie di Kummer (*). In seguito alle due memorie citate, di Reye e di 
Aschieri, che io sappia, solamente altre due sono state pubblicate sopra argomenti che 
riguardano da vicino quello delle trasformazioni doppie nello spazio. Una di queste 
memorie è pure di Reye ("), ed in essa sono stabilite le prime proprietà delle 
corrispondenze algebriche (1,) tra due spazî, nell’altra Schoute (°) considera alcune 
delle involuzioni che in uno spazio sono «generate dalle coppie di punti corrispon- 
denti univocamente ai punti di un altro spazio, cioè alcune di quelle trasformazioni 
birazionali involutorie che io ho chiamato congiunte alle trasformazioni doppie. Mi 
pareva contuttociò che ancora restasse un campo libero da esplorare, ed avrei con- 
tinuato le ricerche su questo argomento, se altre occupazioni ed altri studî non me 
ne avessero dis'ratto fino a questi ultimi tempi. 
Nella presente memoria sono stabiliti i fondamenti della teoria generale delle 
trasformazioni doppie nello spazio. Dopo avere definito la trasformazione doppia 
come una corrispondenza algebrica (1,2) fra i pun'i di uno spazio doppio e 
di un altro spazio semplice, accenno l’esistenza nello spazio doppio di una super- 
ficie limite, luogo dei punti a ciascuno dei quali corrispondono nello spazio semplice 
due punti coincidenti i quali generano una superficie doppia, ed accenno l’esi- 
stenza di una trasformazione congiunta involutoria, generata dalle coppie di pun i 
(') Kummer, Veber die algebraischen Strahlensysteme. (Abhandlungen der Berl. Akademie, 1866). 
(È) La trasformazione quadratica doppia di spazio, e la sua applicazione alla geometria dello 
spazio non euclideo. (Rendiconti del r. Istituto lombardo, Serie II, Vol. XIV e XV). 
(") Veber die Kummer'sche Configuration von sechzehn Punkten und sechzehn Ebenen. (G. di Crelle, 
Vol. 86). — Veber Strahlensysieme zweiler Classe und die Kummer'sche Fliche vierter Ordnung nil 
sechzehn Knotenpunkten. (G. di Crelle, Vol. 86). 
(') La trasformazione doppia permette di trovare alcune proprietà della superficie di Kummer, 
le quali credo non siano ancora note. 
(°) Ueber Coordinaten-Transformationen nien Grades. (G. di Crelle, Vol. 94). 
(°) De la transformation coujuguée dans l'espace. (Association frangaise pour l’avancement des 
sciences. Congrès de Reims, 1880). 
