congiunti che nello spazio semplice corrispondono ai punti dello spazio doppio. 
Osservo poi che, in particolari trasformazioni doppie, nello spazio semplice oltre alla 
superficie doppia possono esservi curve doppie e punti doppî ('). Stabilisco 
come si corrispondono le singolarità dei luoghi corrispondenti nei due spazî, passo 
a studiare il sistema delle superficie e delle linee che in ciascuno spazio corrispon- 
dono ai piani ed alle rette dell'altro, e quindi mi occupo particolarmente degli ele - 
menti fondamentali dei due spazî e delle loro diverse specie, che sono numerose 
e di uno studio delicato, per passare poi a considerare le principali proprietà della 
superficie limite e della superficie doppia, ecc. ecc. Le coppie di punti congiunti 
dello spazio semplice determinano in generale co 3 rett», raggi di un complesso, che 
corrispondono univocamente ai punti dello spazio doppio, nel capitolo sesto studio 
questo complesso e la sua rappresentazione sullo spazio punteggiato. Finalmente nel 
capitolo settimo faccio vedere come si possono costruire infinite trasformazioni doppie. 
La teoria che qui svolgo mi sembra feconda di utili applicazioni, tra le quali 
cito le seguenti : 
Ogni trasformazione doppia individua una trasformazione congiunta, un'involu- 
zione dello spazio semplice, tutte le circost inze di questa involuzione, come per esempio 
: la posizione particolare degli elementi fondamentali, si stabilis:ono facilmente coll’aiuto 
della trasformazione doppia, si trovano così molti esem»î di involuzioni che possono 
riuscire iteressanti, essendo pochi quelli finora noti. Qualora poi fosse dimostrato 
che le coppie di una involuzione qualunque dello spazio si potessero sempre far 
corrispondere univocamente ai punti di un altro, si potrebbe dire che ls trasforma- 
zioni doppie forniscono un modo, relativamente semplice, per potere studiare tutte 
le involuzioni dello spazio, e se invece ciò non fosse, sarebbe interessante cercare 
quali sono le involuzioni capaci di costituire la trasformazione congiunta ad una doppia. 
Una superficie omaloide dello spazio doppio dà nello spazio semplice una super- 
ficie rappresentabile sul piano doppio, cioè rappresentabile in modo che ad un punto 
del piano corrispondano due punti soli della superficie e ad un punto della superficie 
corrisponda un punto solo del piano. Le trasformazioni birazionali sono state appli- 
cate, e con successo, a studiare le superficie omaloidi, le trasformazioni doppie si 
possono utilmente applicare allo studio delle superficie rappresentabili sul piano dop- 
pio. Forse, come Cremona (*) ha trovato il modo di costruire tutte le trastor- 
mazioni birazionali partendo dalla rappresantazione di una superficie omaloide, potrebbe 
darsi che partendo dalla rappresentazione di una superficie rappresentabile sul piano 
doppio si potessero costruire tutte le trasformazioni doppie, mentre il metodo che 
io espongo nell’ultimo capitolo permette di costruirne infinite; ma probabilmente 
non tutte. 
Le trasformazioni doppie possono servire a trovare proprietà delle superficie che 
sì presentano nello spazio doppio come superficie limite; il caso della superficie di 
Kummer ci porge un esempio. 
Finalmente le trasformazioni doppie servono a trovare complessi i cui raggi sono 
(') Alcuni risultati vanno modificati se vi sono curve doppie o punti doppî. 
(°) Sulle trasformazioni razionali nello spazio. (Annali di Matematica, Serie II, Vol. 5°). 
