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rappresentabili univocamente sopra i punti dello spazio, e servono a trovare le cir- 
costanze della loro rappresentazione. Credo che finora tra queste rappresentazioni 
siano note solamente quelle di complessi del 1° e del 2° grado, colle trasformazioni 
doppie se ne trovano infinite, e fra queste meritano di essere notate a!cune di par- 
ticolari complessi del 3° grado. 
I. Generalità — Superficie doppia, superficie limite — Singolarità delle curve e 
delle superficie di uno spazio corrispondenti alle curve ed alle superficie del- 
l’altro spazio. 
1. Facciamo corrispondere proiettivamente ai piani P di uno spazio S le super- 
ficie ®', di ordine n’, appartenenti ad un sistema lineare 008 di un altro spazio S'. 
Se tre qualunque ®' del sistema passano per due soli punti non comuni a tutte le altre, 
viene stabilita una trasformazione dei due spazî, ad ogni punto p di S corrispon- 
dono due punti p',p' di S', mentre a ciascuno di questi corrisponde in S il solo 
punto p. Quando p si muove in S descrivendo un piano P i punti corrispondenti 
p',p' si muovono in S' descrivendo la superficie D' corrispondente a P. Potendo 
considerare lo spazio S come costituito da due spazî soprapposti Si, S,, in modo 
che a ciascuno dei due punti p', p' di S' corrisponda uno dei due punti di S_ so- 
prapposti a p, distingueremo S col nome di spazio doppio, S' col nome di spa- 
zio semplice, e diremo trasformazione doppia la corrispondenza tra i due 
spazî. Chiameremo poi trasformazione congiunta quella involutoria che 
in S' fa corrispondere ad un punto p' il suo congiunto p', che insieme a p' cor- 
risponde ad uno stesso punto p di S, e chiameremo congiunte due figure di S' 
se sono generate da punti congiunti. 
I.Ad una curva, o superficie, dello spazio semplice ed alla 
sua congiunta corrisponde una stessa curva, o superficie, dello 
spazio doppio. 
II. Ad una curva, o superficie, dello spazio doppio o corri- 
sponde nello spazio semplice una curva, o superficie, congiunta 
a se stessa, o corrispondono due curve, o superficie, congiunte. 
Per riconoscere se una curva, o una superficie, dello spazio doppio ha per cor- 
rispondente due curve, o superficie, congiunte o una curva, o superficie, congiunta 
a se stessa, basta esaminare l’ordine e le singolarità del luogo corrispondente, 
quindi vedere sc viene o no a spezzarsi necessariamente. 
III. Due curve, o superficie, congiunte e la curva, o super- 
ficie, corrispondente nello spazio doppiosono dello stesso genere. 
IV. Sono iperellittiehe le curve congiunte a se stesse e cor- 
rispondenti alle curve razionali dello spazio doppio. 
V. Sono rappresentabili sul piano doppio le superficie con- 
giunte a se stesse corrispondenti alle superficie omaloidi dello 
spazio doppio ('). 
(') Si dice che una superficie è rappresentabile sul piano doppio se è possibile sta- 
bilire una corrispondenza tra i suoi punti e quelli di un piano in modo che un punto della superficie 
