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2. In generale nello spazio S' abbiamo una superficie Q' luogo dei punti o' che 
sono infinitamente vicini ai loro congiunti ©’. Un punto o della superficie Q, cor- 
rispondente in S alla Q', ha come corrispondenti due punti infinitamente vicini 0, o', 
quindi possiamo immaginarlo come appartenente insieme ai due spazî Sj,S,, che 
soprapposti costituiscono lo spazio S, il luogo Q è dunque la superficie di tran- 
sizione dei due spazî Si, S,, la superficie limite dello spazio S. La retta 
o' ©' non è tangente alla Q', i punti o, ©' descrivono due superficie congiunte infi- 
nitamente vicine in tutti i loro punti, le considereremo complessivamente come una 
superficie doppia Q, corrispondente alla superficie limite Q. 
La superficie limite e la superficie doppia sono dello stesso genere. 
Possiamo chiamare direzione principale in un punto di Q' la direzione 
della retta principale che lo unisce al punto congiunto infinitamente vicino. 
In ogni punto o' di O’ vi è una sola direzione principale. Può darsi che vi siano 
in S' curve doppie, tali cioè che in ogni loro punto vi siano oo! direzioni prin- 
cipali, e punti doppî, tali cioè che siano principali tutte le co? direzioni che 
partono da essi. Le curve doppie ed i punti doppî si devono considerare come su- 
perficie doppie degenerate. 
‘ In generale in S' vi è solamente una superficie doppia. 
3. Se una curva C', congiunta a se stessa, passa r volte per un punto p', deve 
passare r volte per il punto congiunto p'; se una curva 0’, non congiunta a se stessa, 
passa r volte per un punto p' ed s per il punto congiunto p', la curva congiunta C' 
passa s volte per p' ed r per p'’, dunque in ogni caso il numero dei passaggi di 0", 
o CC, per un punto è uguale al numero dei passaggi per il punto congiunto, e: 
I. Se una curva congiunta a se stessa ha un punto r-plo deve 
pure avere un punto r-plo nel punto congiunto, e la curva corri- 
spondente nello spazio doppio ha un punto r-plo nel punto corri- 
spondente. 
II. Se una curva non congiunta a se stessa ha un punto r-plo 
congiunto ad un punto s-plo, la curva corrispondente nello spazio 
doppio ha un punto (r+- s)-plo nel punto corrispondente. 
4. La superficie doppia Q' è formata da due superficie infinitamente vicine in 
ogni loro punto, quindi se una curva C', non congiunta a se stessa, incontra la Q' 
in un punto, con direzione non principale, in esso vi sono due punti di intersezione 
infinitamente vicini e non congiunti, perciò: 
I. Se una curva, non congiunta a se stessa, incontra la su- 
perficie doppia in un punto, condirezione non principale, lacurva 
congiunta passa per questo punto, pure con direzione non princi- 
pale, e la curva corrispondente nello spazio doppio tocca la su- 
perficie doppia nel punto corrispondente (°). 
dia un punto del piano, ed uno solo, mentre un punto del piano dia due punti della superficie, e 
due soli. Le curve iperellittiche godono di una proprietà analoga, sono rappresentabili sulla 
retta doppia. 
(') Regye, I. c. 
