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In modo pure facile si dimostrano i teoremi seguenti: 
II. Se una curva, non congiunta a se stessa, taglia la super- 
ficie doppia in un punto, con direzione principale, è toccata in 
questo punto dalla curva congiunta, e la curva corrispondente 
nello spazio doppio ha unacuspidenelpunto corrispondente sulla 
superficie limite. 
III. Se una curva, congiunta a se stessa, incontra la super- 
ficie doppia in un punto, la incontra con direzione principale, e 
la curva corrispondente nello spazio doppio sega la superficie 
limite nel punto corrispondente ('). 
IV. Se una curva dello spazio doppio tocca la superficie li- 
mite in un punto, il luogo corrispondente nello spazio semplice 
ha un punto doppio nel punto corrispondente sulla superficie 
doppia. 
V. Se una curva dello spazio doppio ha in un punto un con- 
tatto tripunto colla superficie limite, il /wogo corrispondente 
nello spazio semplice ha un punto di regresso sulla superficie 
doppia, che in esso viene toccata dalla tangente al luogo 
VI. Se una curva dello spazio doppio ha in un punto un con- 
tatto quadripunto colla superficie limite, il/wogo corrispondente 
nello spazio semplice hadue rami che si toccano nel punto corri- 
spondente è toccano in esso la superficie doppia. 
5. Se una superficie U', congiunta a se stessa, ha un punto r-plo in un punto 
p', deve avere un punto r-plo nel punto congiunto p'; se una superficie U', non 
congiunta a se stessa, ha un punto »-plo in un punto p' ed un punto s-plo nel 
punto congiunto p', la superficie congiunta îU' ha un punto s-plo in p' ed un punto 
r-plo in p', dunque in ogni caso un punto è multiplo per U', o U'WU', come il 
punto congiunto, e: 
I. Se una superficie, congiunta a se stessa, ha un punto r-plo 
deve pure avere un punto r-plo nel punto congiunto, e la superfi- 
cie corrispondente nello spazio doppio ha un punto r-plo nel punto 
corrispondente. 
II. Se una superficie, non congiunta a se stessa, ha un punto 
r-plo congiunto ad un punto s-plo, la superficie corrispondente nello 
spazio doppio ha un punto (r+s)-plo nel punto corrispondente. 
Analogamente si dimostra che: 
III. Se una superficie, congiunta a se stessa, ha una curva 
r-pla, non congiunta a se stessa, deve avere comer-plala curva con- 
giunta, e la superficie corrispondente nello spazio doppio ha per 
curva r-pla la curva corrispondente. 
IV. Se una superficie, congiunta a se stessa, ha una curva 
r-pla, non congiunta a se stessa, ed ha come s-plala curva congiunta, 
(') Reye, Il. c. 
