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Se i punti presi ad arbitrio sono p;,p» le superficie D dei quattro sistemi 
corrispondono ai quattro fasci di piani che hanno per assi le rette: 
Pipa. Pipa, PiDa, Pipa. 
VI. Per un punto arbitrario passano 2 sistemi co? di super- 
ficie ®, ciascuno di indice 4. 
Se il punto preso ad arbitrio è p le superficie ® dei due sistemi corrispon- 
dono alle due stelle di piani che hanno i centri nei punti p', p‘. 
12. Sia v l’ordine della superficie doppia O, sia N l’ordine della trasforma- 
zione congiunta. Un piano P' taglia la superficie congiunta E” secondo la curva 
di ordine v che sega sulla ©, luogo dei punti di P' e di I” congiunti a se stessi, 
e secondo una rimanente linea A', di ordine, N-y, luogo delle coppie di punti con- 
giunti distinti situate su P e su P”. 
I. Ciascuna superficie ®, corrispondente ad un piano P', tocca 
la superficie limite lungo la curva corrispondente alla sezione 
fatta da P' sulla superficie doppia, e nonlaincontra in altripunti 
variabili (6, I). 
II. Ciascuna superficie ®, corrispondente ad un piano P', ha 
per curva doppia la curva A corrispondente al luogo A' delle cop- 
pie di punti congiunti distinti situate su P' (6, II). 
III. [ punti cuspidali della curva doppia A di una © sono le 
sue intersezioni, non fondamentali, colla superficie limite (6, III). 
13. I punti fondamentali dello spazio S sono quelli comuni a tutte le 
superficie ®. Se abbiamo una linea comune a tutte le superficie ® ogni suo punto 
è un punto fondamentale, la chiameremo linea fondamentale di S. 
14. L’ordine delle superficie E”, congiunte ai piani è N, quindi: 
I. Illuogo dei punti di un piano dello spazio semplice i cui 
congiunti stanno sopra un altro piano dato è una curva diordine N. 
Una retta R' incontra in N punti una EP", quindi la. curva IR congiunta 
ad R' incontra in N punti il piano P' congiunto alla PP”, ossia: 
II. Le curve congiunte alle rette dello spazio semplice sono 
di ordine N. 
III. Sopra una retta dello spazio semplice vi sono N punti i 
cui congiunti stanno sopra un piano dato. 
15. A due piani P',, Pa corrispondono, nello spazio doppio, due superficie 
©, , ©, le quali si tagliano secondo le linee fondamentali di S e secondo due curve 
variabili, una Ry, di ordine n' e corrispondente alla retta R intersezione dei due 
piani P, Pa, l’altra Qu, di ordine x e corrispondente al luogo dei punti di uno 
dei due piani i cui congiunti stanno sull’altro. Le Qu sono le curve corrispondenti 
alle sezioni piane delle superficie E”, quindi si vede che .' è l’ordine delle curve 
congiunte alle sezioni piane delle D'. 
I. Alle rette dello spazio semplice corrispondono curve R,, 
razionali di ordine n, che formano un sistema co. 
Per due punti arbitrarî py, pa, di S, passano 4 curve R,/ che corrispondono alle rette: 
r 
Pipa, Pipe, Pupa, Pipr. 
