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20 + punti variabili dalle D', dei quali e stanno sulla sezione di Q' fatta da P' 
e 20 sulla A' di P', dunque: 
= 0 LR, 
e perciò 
e=4(N—n)+ x IMIXZi,m,. 
r 
IV. Elementi fondamentali dei due spazi. 
21. Un punto fondamentale di 1° classe, dello spazio semplice, può essere an- 
che fondamentale per la trasformazione congiunta. Può darsi che per esso passino 
le R' con direzioni variabili, nel quale caso è congiunto ad una superficie, o può 
darsi che non passino per esso le Eè' con direzioni variabili, ma che contuttociò 
sia fondamentale per la trasformazione congiunta, perchè appartenga ad una curva 
fondamentale per questa trasformazione; se poi il punto non è fondamentale per la 
trasformazione congiunta, o è congiunto ad un altro punto fondamentale, ugualmente 
multiplo per le D', o è congiunto a se stesso (punto doppio di S'). Per distinguere 
questi punti fondamentali li diremo rispettivamente di 1°, 2°, 3°, 4* specie. 
Se /" è un punto fondamentale di 1° classe di S', per il quale le R', passino 
con 9' direzioni variabili, è chiaro che il luogo corrispondente in S deve essere in- 
contrato in 9" punti da una retta qualunque R, dunque: 
I. Ad un punto fondamentale di 1% classe dello spazio sem- 
plice, per ilquale le R, passino con 9 direzioni variabili, corri- 
sponde nello spazio doppio una superficie omaloide di ordine 6. 
Chiameremo superficie fondamentali dello spazio doppio quelle che cor- 
rispondono a punti fondamentali di 1° classe dello spazio semplice. 
II. Un punto fondamentale / di 1* classe, dello spazio sem- 
plice, è di 1° specie, e precisamente fondamentale 7-plo per la tra- 
sformazione congiunta e congiunto ad una superficie diordine ©, 
se le superficie ® sono incontrate in N-—7-+1 punti non fonda- 
mentali dalle curve corrispondenti alle rette condotte per /, e se 
la superficie fondamentale corrispondente nello spazio doppio è 
incontrata in ©' punti non fondamentali dalle R,/. 
III. Un punto fondamentale di 1° classe, dello spazio semplice, 
è di 2° specie se la superficie corrispondente nello spazio doppio 
è incontrata in punti variabili dalle ® senza essere incontrata in 
punti variabili da tutte le Ry. 
IV.Un punto fondamentale di 1° classe, dello spazio semplice, 
è di 3°, 4° specie se la superficie corrispondente nello spazio dop- 
pio non è incontrata in punti variabili dalle ©. 
Se un punto fondamentale /", di 1° classe 1° specie, è multiplo secondo /' per 
la superficie doppia Q', naturalmente sono congiunti a se stessi tutti i punti di O' 
infinitamente vicini ad /", quindi /" è multiplo secondo J' pure per la superficie 
congiunta, che ha in f' lo stesso cono tangente di Q', perciò vediamo che: 
