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V. Proprietà della superficie limite e della superficie doppia. 
84. I. La superficie doppia fa parte della jacobiana delle ©®'('). 
Infatti tutte le superficie D' che passano per un punto o' di Q' formano una 
rete, ed essendo congiunte a se stesse devono pure passare per il punto ©' con- 
giunto ad o' ed infinitamente vicino ad esso, per due altri punti infinitamente vicini 
ad o',e non situati in uno stesso piano con o' ©’, in generale passerà una super- 
ficie D' della rete, ed una sola, la quale evidentemente avrà in o' un punto doppio, 
dunque o' è un punto della jacobiana delle ®'. 
II. Le superficie fondamentali, che corrispondono a curve 
fondamentali di 1° classe, dello spazio doppio, appartengono alla 
jacobiana delle D. 
Sappiamo che se una retta R passa per un punto /1, preso comunque sopra una 
curva fondamentale y, di 1° classe ed ;-pla per le ®, la curva corrispondente nello 
spazio semplice si spezza in ua curva R',_;, congiunta a se stessa di ordine n —i, 
ed in un luogo R',, congiunto a se stesso di ordine i, corrispondente ad fi, il quale 
luogo può essere formato da una curva di ordine ? congiunta ad un punto, da due 
curve congiunte degli ordini î,,#,, essendo ir+i,= i, da una curva di ordine è 
congiunta a se stessa (30, II, III, IV). Ora la retta R ha un punto infinitamente 
vicino ad /1, quindi nel primo caso la R',_; taglia in un punto variabile il luogo R', 
e passa per il punto congiunto, nel secondo e terzo caso la R'; taglia in due punti 
congiunti variabili il luogo R';. Deduciamo così che la linea R',, corrispondente 
ad R, ha uno o due punti doppî, e che il loro luogo è sempre R/;; siccome poi 
questa R', è comune ad un fascio di superficie D', si vede che queste ® hanno 
tutte uno o due punti di contatto che descrivono il luogo R';, il quale perciò 
appartiene alla jacobiana delle ®', che deve per conseguenza contenere la. super- 
ficie fondamentale corrispondente alla curva fondamentale Y. 
III. Le superficie fondamentali, che corrispondono a punti 
fondamentali di 1° classe, dello spazio doppio, appartengono due 
volte alla jacobiana delle ®' (°). 
Sappiamo che se un piano P contiene un punto fondamentale /, di 1° classe 
per il quale le R,' passino con @ rami, la superficie ® corrispondente nello spazio 
semplice si spezza in una superficie ®',_,, di ordine n —9 congiunta a se stessa, 
ed in un luogo ®'g, congiunto a se stesso, di ordine 9 e corrispondente ad /, il quale 
può essere formato da una superficie di ordine 9 congiunta ad un punto, da una 
superficie di ordine 9 congiunta ad una curva, da due superficie congiunte di ordine 
61,9,, essendo 0,+@,=9, da una superficie di ordine 9 congiunta a se stessa 
(29, I, II, IIT, IV). Ora il piano P ha infiniti punti infinitamente vicini ad f, quindi 
nel primo o secondo caso la ®',_y taglia in una curva variabile il luogo ®', 
(') Noether, I. c. 
(*) In trasformazioni particolari può darsi che una superficie fondamentale vada contata anche 
iù di due volte nella jacobiana delle ®”. 
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