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e passa per il punto congiunto o per la curva congiunta, nel terzo o quarto caso 
la ®,_y taglia il luogo P, secondo due curve variabili congiunte o una curva con- 
giunta a se stessa. 
Deduciamo così che la superficie ®' corrispondente a P ha infiniti punti 
doppî e che il loro luogo è sempre ®'g, dunque ogni superficie fondamentale, cor- 
rispondente ad un punto fondamentale di 1° classe dello spazio doppio, appartiene 
alla jacobiana delle D'. Un fascio di piani passanti per / dà il luogo ®', ed un fascio. 
di D,_;, le D' complessive formano pure un fascio di superficie che hanno tutte un 
punto doppio in un punto di D'9, quello corrispondente al punto dell’asse del fascio 
di piani infinitamente vicino ad f, dunque ®” appartiene due volte alla jacobiana 
delle ®' (‘). 
IV. La jacobiana delle ®D' è costituita dalla superficie dop- 
pia, dalle superficie fondamentali corrispondenti a curve fon- 
damentali, dello spazio doppio, e dalle superficie fondamentali 
corrispondenti a punti fondamentali, dello spazio doppio, contate 
due volte. 
Sia pun punto della jacobiana delle D', non fondamentale. Almeno una ®' ha 
un punto doppio in p' e per p' passa una rete di ®' che corrispondono ad una stella 
di piani col centro in p. Ora è chiaro che tutte le ®' della rete, fuori dei punti 
fondamentali, non possono avere comuni più di due punti congiunti riuniti in p', 
senza avere comuni infiniti punti che formino un luogo congiunto a se stesso pas- 
sante per p'; nel primo caso a p corrisponde il punto p' di Q', congiunto a se stesso, 
nel secondo caso a p corrispondono infiniti punti, tra i quali p', quindi p deve essere 
un punto fondamentale dello spazio doppio, per cui p' deve essere un punto di una 
superficie fondamentale dello spazio semplice. 
35. La jacobiana delle D' è di ordine 4(n'—1), e siccome è costituita dalla 
superficie doppia Q' di ordine v, dalle superficie fondamentali corrispondenti a curve 
fondamentali, dello spazio doppio, e dalle superficie fondamentali corrispondenti a punti 
fondamentali, dello spazio doppio, contate due volte, abbiamo: 
v4-Xs,+2X9,=4(N 1. 
(ta p . 
Le curve Ry sono razionali e formano un sistema co 4 (15,1), quindi vengono 
determinate da 4(n'—1) condizioni, tra queste Xs, sono date dagli incontri colle 
Li 
curve fondamentali, 2 29, sono date dai passaggi per i punti fondamentali, y sono 
p 
date dai contatti che devono avere colla superficie limite. 
La relazione precedente ci dice che: 
Le condizioni a cui devono soddisfare lecurve Ry sono tutte 
espresse dai loro passaggi per i punti fondamentali, dai loro 
(') È facile dimostrare che se in un sistema lineare 008 vi è un fascio di superficie che hanvo 
tutte un punto doppio comune, questo punto è doppio per la jacobiana del sistema, quindi se tutti i 
punti di una superficie sono doppî ciascuno per un fascio di superficie del sistema, la superficie sì 
stacca due volte dalla jacobiana. 
